专题21共边共角模型（射影模型等4种类型）
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、射影模型（射影定理） 1
2、斜射影模型 2
3、斜射影模型变形 2
4、共边模型 2
真题演练 2
巩固练习 3
模型解读
模型解读
共边共角模型（母子模型）的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、射影模型（射影定理）
如图，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
2、斜射影模型
如图，∠C=∠ABD；
结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
3、斜射影模型变形
如图，∠D=∠CAE，AB=AC；
结论：△ABD∽△ECA；
4、共边模型
如图，在四边形中，对角线平分，；
结论：；
真题演练
真题演练
（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
（2023·湖南湘潭·中考真题）在中，是斜边上的高．
(1)证明：；(2)若，求的长．
??
巩固练习
巩固练习
1、如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．
(1)请判定的形状，并说明理由；
(2)若，，求的面积．
2、已知，点D在的边上，连接．
(1)如图1，若．求证：；
(2)如图2，若，，，．求线段的长；
(3)如图3，M、N分别是上的两点，连接交于点P，当，时，若，直接写出的值______．
专题21共边共角模型（射影模型等4种类型）
专题目录
专题目录
TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、射影模型（射影定理） 1
2、斜射影模型 2
3、斜射影模型变形 2
4、共边模型 2
真题演练 2
巩固练习 4
模型解读
模型解读
共边共角模型（母子模型）的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、射影模型（射影定理）
如图，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
2、斜射影模型
如图，∠C=∠ABD；
结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
3、斜射影模型变形
如图，∠D=∠CAE，AB=AC；
结论：△ABD∽△ECA；
4、共边模型
如图，在四边形中，对角线平分，；
结论：；
真题演练
真题演练
（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】见解析．
【详解】解：若选①，
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
选择②，不能证明．
若选③，
证明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
（2023·湖南湘潭·中考真题）在中，是斜边上的高．
(1)证明：；(2)若，求的长．
??
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
巩固练习
巩固练习
1、如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．
(1)请判定的形状，并说明理由；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
（2）解：∵是等边三角形，
设等边三角形的边长为，
∵，
∴，又∵，，
∴，
解得：（负值舍去），
如图所示，过点，作于点，
??
∴，
∴，
∴的面积为
2、已知，点D在的边上，连接．
(1)如图1，若．求证：；
(2)如图2，若，，，．求线段的长；
(3)如图3，M、N分别是上的两点，连接交于点P，当，时，若，直接写出的值______．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）证明：，，
，
，
；
（2）解：如图，延长至点，使得，连接，
??，，
，
设，，
，，
，，，
，，
，
，
，
，
解得：，（舍），
；
（3）解：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，过点作于点，
??，，
，
，
设，，，
，
，
，
在中，，