重难专攻（四）函数的零点问题
利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等结构的函数零点个数（方程根的个数）问题的一般思路：（1）可转化为利用导数研究其函数的图象与x轴（或直线y＝k）在该区间上的交点问题；（2）证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明f（a）·f（b）＜0.
数形结合法研究函数的零点
【例1】（1）已知函数f（x）＝xex＋ex，讨论函数g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零点的个数；
（2）已知函数f（x）＝ex－a（x＋2），若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
解：（1）函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝（x＋2）ex，
所以当x∈（－∞，－2）时，f（x）＜0，f（x）在（－∞，－2）上单调递减，
当x∈（－2，＋∞）时，f（x）＞0，f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，
故f（x）在x＝－2时取得极小值，也是最小值，即f（－2）＝－1e
令f（x）＝0，得x＝－1，当x＜－1时，f（x）＜0；
当x＞－1时，f（x）＞0，且f（x）的图象经过点（－2，－1e2），（－1，0），（0，1
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数增长更快，从而f（x）＝x+1e
当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f（x）→＋∞，根据以上信息，画出f（x）大致图象如图所示.
函数g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零点的个数为y＝f（x）的图象与直线y＝a的交点个数.
所以关于函数g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零点个数有如下结论：
当a＜－1e2时，零点的个数为
当a＝－1e2或a≥0时，零点的个数为
当－1e2＜a＜0时，
（2）令f（x）＝0，得ex＝a（x＋2），即1a＝x
所以函数y＝1a的图象与函数φ（x）＝x+2ex
φ（x）＝－x
当x∈（－∞，－1）时，φ（x）＞0；
当x∈（－1，＋∞）时，φ（x）＜0，
所以φ（x）在（－∞，－1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减，
又φ（x）max＝φ（－1）＝e，且x→－∞时，φ（x）→－∞；x→＋∞时，φ（x）→0，
作出φ（x）的大致图象如图，
又函数y＝1a的图象与φ（x）＝x+2ex的图象有两个交点，由图知，0＜1a＜e，
所以a的取值范围是（1e，＋∞
解题技法
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围.
若函数f（x）＝ex（x2－2x＋1－a）－x恒有2个零点，求a的取值范围.
解：由f（x）＝0，得x2－2x＋1－a＝xe
令g（x）＝xex，则函数f（x）＝ex（x2－2x＋1－a）－x恒有2个零点等价于函数y＝x2－2x＋1－a与y＝g（x）的图象有2
g（x）＝1－xex，令g（x）＞0，得x＜1，令g（x）＜0，得
所以g（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
所以g（x）max＝g（1）＝1e
作出函数y＝x2－2x＋1－a＝（x－1）2－a与y＝g（x）的图象，如图所示，
数形结合可得－a＜1e，解得a＞－1
故a的取值范围为－1
函数性质法研究函数的零点
【例2】（1）已知函数f（x）＝x－alnx（a＞0），求函数g（x）＝12x2－ax－f（x）的零点个数
（2）已知函数f（x）＝ex－ax＋e2.若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围.
解：（1）由g（x）＝12x2－ax－x＋alnx＝12x2－（a＋1）x＋aln
可得g（x）＝x－（a＋1）＋ax＝（
令g（x）＝0可得x＝1或x＝a，
当a＞1时，g（x）在（1，a）上单调递减，所以g（1）＞g（a），
又g（1）＝12－a－1＝－a－12＜
所以g（a）＜0，所以g（x）有一个零点，
当a＝1时，g（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以g（x）有一个零点，
当0＜a＜1时，g（x）在（0，a）上单调递增，
在（a，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
此时g（a）＝12a2－（a＋1）a＋alna＝－12a2－a＋alna＜0，g（x）
综上所述，g（x）在（0，＋∞）上只有一个零点.
（2）因为f（x）＝ex－a，
当a≤0时，有f（x）＞0，
f（x）在R上是增函数，此时f（x）无两个零点；
当a＞0时，x＜lna，f（x）＜0，f（x）单调递减；x＞lna，f（x）＞0，f（x）单调递增，
因为当x→－∞时，f（x）→＋∞；当x→＋∞时，f（x）→＋∞，
所以要使函数f（x）有两个不同的零点，
只需f（x）min＝f（l