重难专攻（十五）概率与统计中的创新性问题
【重点解读】概率与统计中的创新性问题主要涉及概率统计中的证明问题、概率统计与数列、函数的交汇问题及概率统计中的新定义问题等.
提能点1
概率、统计与函数的交汇问题
（2025·邵阳第一次联考）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值；
（2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数的估计值，σ＝10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x，答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为18，答对两道题的概率为P，求概率P的最小值
解：（1）∵10×（0.012＋0.026＋0.032＋a＋0.01）＝1，∴a＝0.02.
样本平均数的估计值为50×0.12＋60×0.26＋70×0.32＋80×0.2＋90×0.1＝69.
（2）∵μ＝69，σ＝10.5.
∴P（X≥90）＝P（X≥μ＋2σ）≈1－0.95452
∴能参加复试的人数约为40000×0.02275＝910.
（3）由题意有x2y＝18
答对两道题的概率P＝x2（1－y）＋C21x（1－x）y＝x2＋2xy－3x2
而x2y＝18，∴P＝x2＋14x
令f（x）＝x2＋14x－38（0＜x
则f（x）＝2x－14x2
∴当x∈（0，12）时，f（x）＜0，f（x）在（0，12）
当x∈（12，1］时，f（x）＞0，f（x）在（12，1］
∴当x＝12时，f（x）min＝38.故概率P的最小值为
规律方法
通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式，解决此类问题应注意：
（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；
（2）注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制.
练1某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自A中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当p1＋p2＝43时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值
解：（1）由题意知，ξ的可能取值有0，1，2，3，P（ξ＝0）＝C43C73＝435，P（ξ＝1）＝C42C31C73＝1835，P（ξ＝2
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
4
18
12
1
E（ξ）＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×1
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为χ，则χ～B（2，p1），
设乙答对题数为η，则η～B（2，p2），
设“A＝甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，
则P（A）＝P（χ＝1）P（η＝2）＋P（χ＝2）P（η＝1）＋P（χ＝2）P（η＝2）
＝C21p1（1－p1）C22p22＋C22
＝2p1（1－p1）p22＋2p2（1－p2）p
＝－3p12p22＋8
由0≤p1≤1，0≤p2≤1，又p1＋p2＝43，所以13≤p1≤
则p1p2＝p1（43－p1）＝43p1－p12，又13≤p1≤1，所以p1p2∈［
设t＝p1p2，所以P（A）＝－3t2＋83t，t∈［13，49］，由二次函数可知当t＝49时取最大值16
提能点2
概率、统计与数列的交汇问题
（2023·新高考Ⅰ卷21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，则E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次