重难专攻（九）立体几何中的创新性问题
【重点解读】对于立体几何中的新情境、新定义问题，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合.明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式.在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题.对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明.同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象.
提能点1
新情境问题
胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781—1864）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例（1+52≈1.618），泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若h2＝as，则由勾股定理，as＝s2－a2，即（sa）2－sa－1＝0，因此可求得sa为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形（2a＝856），顶点P的投影为底面中心O，H为BC中点，根据以上信息，PH的长度（单位：英尺）
A.611.6 B.481.4
C.692.5 D.512.4
解析：C由2a＝856和PH＝s＝5+12a可得PH＝5+12×8562≈692.
规律方法
新情境创设的几种常见类型
（1）从情境的复杂程度出发，高考一般从学生的“熟悉情境、关联情境、综合情境”三个层次命题；
（2）从情境与学科知识的融合度上可分为“情境分离型”（去掉情境素材，仍能完成学科任务）；“情境嵌入型”（此类题目中的情境与题目中的学科任务相互融合，一些关键信息可直接从情境中获取，但取消情境内容题目无法解决）；“情境结合型”（此类问题的考查内容及知识点都需要从情境中提取，如果对材料的理解不够深入，没有提取到其中蕴含的信息，没有完成新信息与旧知识的转化，问题就无从求解）.
提能点2
定义新概念
（2025·上海普陀区测评）对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个交点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系O-xyz中，球O的半径为1，记平面xOy、平面zOx、平面yOz分别为α，β，γ.
（1）若棱长为a的正方体、棱长为b的正四面体的内切球均为球O，求ab的值
（2）若球O在点（16，13，12）处有一切平面λ0，求λ0与α的交线方程
解：（1）由题意可知，a＝2.正四面体ABCD的内切球为球O.
如图，设顶点A在底面BCD上的射影为点F，则F为△BCD的中心，
取线段CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD，F在BE上，
则BE＝BCsin60°＝32b，BF＝23BE＝3
所以AF＝AB2－BF2
V正四面体ABCD＝13AF·S△BCD
连接OB，OC，OD，因为V正四面体ABCD＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝4×13×1×S△BCD，所以43S△BCD＝13AF·S△BCD，故AF＝63b＝4，解得b
所以ab＝226
（2）在λ0与α的交线上任取一点P（x，y，0），记点Q（16，13，1
连接OQ，QP，则OQ·QP＝0，即（16，13，12）·（x－16，y－13，－
即x6－16＋y3－13－12＝0，即x＋2y
所以λ0与α的交线方程为x＋2y－6＝0，该直线的一个方向向量为（－2，1，0）.
规律方法
解决定义新概念型问题的关键是把新概念理解透彻（如等腰四面体、球切面等），再逐步转化为用熟知的符号知识、方法表示解决.本例破障关键为理解α与λ0两平面的位置特征及交线的位置特征.将几何特征用向量表示，确定在平面α上的直线方程，再确定该直线在空间中的一个方向向量.
提能点3
定义新运算
设全体空间向量组成的集合为V，a＝（a1，a2，a3）为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”f（x）：f（x）＝－x＋2（x·a）a（x∈V）.
（1）设u＝（1，0，0），v＝（0，0，1），若f（u）＝v，求向量a；
解：（1）依题意得f（u）＝－u＋2（u·a）a＝v，
设a＝（x，y，z），代入运算得2x
a＝（22，0，22）或a＝（－22，0，－
（2）对于V中的任意两个向量x，y，证明：f（x）·f（y）＝x·y；
解：（2）证明：设x＝（a，b，c），y＝（m，n，t），a＝（a1，a2，a3），
则f（x）·f（y）＝[－x＋2（x·a）a]·[－y＋2（y·a）a]＝x·y－4（y·a）（x·a）＋4（y·a）·（x·a）a2＝x·y－4（y·a）（x·a）＋4（y·a）·（x·a）＝x·y，从而得证.
（3）对于V中的任意单位向量x，求｜f（x）－x｜的最大值.
解