第四节直线、平面垂直的判定与性质
1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.
2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.已知直线l1⊥平面α，直线l2?平面α，则l1与l2的位置关系一定成立的是（）
A.相交 B.垂直
C.异面 D.平行
解析：B根据线面垂直的性质，则l1⊥l2，故选B.
2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有（）
A.SG⊥△EFG所在平面
B.SD⊥△EFG所在平面
C.GF⊥△SEF所在平面
D.GD⊥△SEF所在平面
解析：A四面体S-EFG如图所示，由SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G得SG⊥△EFG所在的平面.故选A.
3.已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
解析：B因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.由于BC?平面BCD.所以平面BCD⊥平面ACD.
4.已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为π6，并且斜线l交平面α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是（
A.3π B.2π
C.π D.π
解析：A如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝π6，又AC＝1，所以BC＝3，故射影形成的图形为半径为3的圆面，其面积为3π.故选
5.正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为.
答案：2
解析：如图，由正六棱柱的几何特征可知BB⊥AB，BB⊥BC，则∠ABC为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，∴∠ABC＝（6－2
1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
2.垂直于同一条直线的两个平面平行.
3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.
4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
5.三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l?α，l⊥CO，则l⊥PC.
6.三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l?α，l⊥PC，则l⊥CO.
1.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）
A.α⊥β且m?α B.m⊥n且n∥β
C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β
解析：C由结论1可知C正确.
2.（多选）下列命题为真命题的是（）
A.若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直
C.垂直于同一条直线的两个平面相互平行
D.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面
解析：BCD对于A，两个相交平面有一条交线，交线有无数个公共点，但是这两个平面不重合，故A错误；对于B，由结论3可知正确；对于C，由结论2可知正确；对于D，由结论4可知正确，故选B、C、D.
3.（多选）（2021·新高考Ⅱ卷10题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是（）
解析：BC由结论5易知B、C正确.
线面垂直的判定与性质
【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：
（1）CD⊥AE；
（2）PD⊥平面ABE.
证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
又PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.