§4.5三角函数的图象与性质
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·八省联考)函数f(x)＝cosx＋π4的最小正周期是
A.π4 B.π2
2.(2024·马鞍山模拟)下列直线中，与函数y=tan2x-π4
A.x=π2 B.y=
C.x=3π8 D.y=
3.(2024·杭州模拟)已知函数f(x)=cos2x+π4，则“θ=π8+kπ(k∈Z)”是“f(x+θ)为奇函数
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)=2sinωx-π6ω0的图象与直线l：y=1的三个相邻交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1+x2=2π3，x2+x3=5π3.当x∈0，π2时，
A.-∞，
B.-1
C.-∞，
D.-2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数f(x)=sin2x+π6在区间[-a，0]上单调递增，则实数a
A.π8 B.π4 C.3π8
6.(2025·岳阳模拟)若函数f(x)=sinωx+π6(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x=π6对称，
A.f(0)=1
B.f(x)的图象关于点5π12
C.f(x)在区间(0，π)上有2个极值点
D.f(x)在区间0，
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·雅安模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数：.?
①奇函数；②最大值为2；③最小正周期是π.
8.(2024·宿迁模拟)已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)=2sinωx+2π3(ω0)的值域为-2，3，则
四、解答题(共27分)
9.(13分)已知函数f(x)=4sin(2x+φ)，φ∈(0，π)，且f(x)的图象关于点-π6
(1)求φ；(6分)
(2)求函数f(x)在0，π2上的值域.
10.(14分)(2024·福州模拟)已知函数f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx+π2-12(ω
(1)求ω的值与f(x)的单调递增区间；(7分)
(2)若x0∈π3，7π12且f(x0)=33，求cos2x0
11题5分，12题6分，共11分
11.(2024·泸州模拟)已知函数f(x)=sinωx-2π3(ω0)在[0，π]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是
A.83，113
C.53，83
12.(多选)已知函数f(x)=sin|x|-cos2x，则下列结论正确的是()
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的最小值为-9
D.f(x)的最大值为2
答案精析
1.D
2.C[函数y＝tan2x-π
2x－π4≠kπ＋π2，k∈
解得x≠kπ2＋3π8
所以函数y＝tan2x-π
令k＝0，得x≠3π8
所以直线x＝3π8
y＝tan2x-π
3.A[因为f(x＋θ)
＝cos2x
一方面，当θ＝π8＋kπ(k∈Z)
f(x＋θ)＝cos2
＝－sin2x是奇函数，
故充分性成立；
另一方面，f(x＋θ)为奇函数，
则2θ＋π4＝π2＋kπ(k
即θ＝π8＋kπ2(
综上所述，“θ＝π8＋kπ(k∈Z)”是“f(x＋θ)为奇函数”的充分不必要条件.
4.B[由已知得f(x)图象的相邻的两条对称轴分别为直线x＝x1＋x22
所以函数f(x)的最小正周期T＝2×5π6-π3＝π，所以ω＝
所以f(x)＝2sin2x
当x∈0，
2x－π6∈-
f(x)∈-1，
由f(x
得－3f(x)－t3，
所以－3＋tf(x)3＋t，
所以-3
解得－1t≤2.]
5.AB[由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k
得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈
取k＝0，可得f(x)在区间-π
又函数f(x)＝sin2x＋π6在区间[－a
∴－π3≤－a0，即0a≤π
∴实数a的可能值为π8，π
6.ABC[因为函数
f(x)＝sinωx＋π6(ω∈N*，ω
的图象关于直线x＝π6
可得ω·π6＋π6＝π2＋
解得ω＝2＋6k，k∈Z，
又ω∈N*，且ω≤6，所以ω＝2，
即f(x)＝sin2x
A中，f(0)＝sinπ6＝1
B中，因为2×5π12＋π
所以f(x)的图象关于点5π12，0
C中，因为x∈(0，π)，
所以2x＋π6∈π
令2x＋π6＝π2，解得
令2x＋π6＝3π2，解得
所以极值点为π6，2π3，所以
D中，因为x∈0，
所以2x＋π6∈π
则函数不单调，所以D不正确.]
7.f(x)＝2sin2x(答案不唯一)
解析例如f(x)＝2sin2x，
可知其定义域为R，
则f(－x)＝2sin2(－x)
＝－2sin2x＝－f(x)，
即f(x)为奇函数，
显然f(x)的最大值为2，
且f(x)的最小正