课后作业(二十八)正弦定理、余弦定理的应用举例
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共70分
一、单项选择题
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()
A．502m B．503m
C．252m D．252
2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔大约为(2≈1.4，3≈1.7)()
A．7350m B．2650m
C．3650m D．4650m
3．(2025·江苏南通模拟)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为(cos10°≈0.985)()
A．49.25m B．50.76m
C．56.74m D．58.60m
4．(2024·广东广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度．如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00m，之后将小镜子前移a＝6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75m，则钟楼的高度大约是()
A．27.75m B．27.25m
C．26.75m D．26.25m
二、多项选择题
5．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则()
A．观测点B位于A处的北偏东75°方向
B．当天10：00时，该船到观测点B的距离为6km
C．当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为6km
D．该船在由C行驶至A的这5分钟内行驶了2km
6．如图，甲船从A1出发以25nmile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距52nmile.当甲船航行12min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5nmile，下列说法正确的是()
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是152nmile/h
C．甲、乙两船相遇时，甲行驶了1+2
D．甲、乙两船不可能相遇
三、填空题
7．(人教A版必修第二册P51练习T2改编)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝________．
8．如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距2nmile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为________nmile.
四、解答题
9．如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶4km后到达B处，测得此山顶在北偏西30°的方向上．
(1)求此山的高度；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tanθ.
10．如图，五边形ABCDE是规划修建的公路自行车比赛赛道平面示意图，运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝2π3，∠CBD＝π4，CD＝26
(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝7π12；②cos∠DBE＝
(2)在(1)的条件下，应该