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山东省齐鲁名校教研共同体2024-2025学年高三下学期考前质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的离心率为，虚半轴长为2，则的焦距为（???）
A． B． C．4 D．
3．若复数满足，则的最小值为（???）
A．2 B．3 C．6 D．7
4．已知向量，，则（???）
A． B． C． D．
5．如图，已知圆锥的底面积为，其轴截面为等腰直角三角形，若其一个内接圆柱的底面积为，则圆锥与圆柱的体积之比为（???）
A． B． C． D．
6．已知函数，要得到一个偶函数的图象，可以将的图象（???）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内、则的最小值为（???）
A． B．2 C． D．3
8．已知，若，则（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．小明和小强在球场上进行罚球练习，双方均以个罚球为一组，其中小明练习组，小强练习组，现将他们每组练习中罚球命中的个数统计如下：
小明
小强
则下列说法正确的是（???）
A．若，则小明和小强罚球命中个数的平均数相同
B．若小明和小强罚球命中个数的极差相同，则
C．若，则小明和小强罚球命中个数的中位数相同
D．若，则小明罚球命中个数的方差小于小强罚球命中个数的方差
10．已知函数的图象关于原点对称，且为偶函数，当时，，则（???）
A． B．
C．在上单调递减 D．当时，
11．若数列满足：存在，使得对任意成立，则称是“受限数列”，的最小值称为的“受限上界”.记的前项和为，则下列说法正确的是（???）
A．若，则是受限数列
B．若等差数列满足，，则是受限数列
C．若，则是受限数列，其受限上界为3
D．若，都是受限数列，则也是受限数列
三、填空题
12．函数的零点为.
13．甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有种不同的分配方案.
14．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点，，在上，且是面积为的等边三角形，则的方程为；若，则的最小值为.
四、解答题
15．为测试甲、乙两个AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了5道数学题让甲、乙同时进行解答，每道题甲答对的概率均为，乙答对的概率均为，且每次解答是否正确相互独立.
(1)若已知前两题中甲至少答对了1题，求前两题甲都答对的概率；
(2)设甲、乙均答对的题数为，求的分布列与数学期望.
16．记正项数列的前项和为，已知.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项和.
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，其中，，平面，点，在棱上，且.
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若是上一动点，的周长.
(1)求的离心率.
(2)如图，若过原点可向圆作两条切线，设切点分别为、，其中点在第二象限，点在第一象限，直线、的斜率分别记为、，且为定值.
（i）求的方程；
（ii）建立与之间的恒等关系.
19．设函数在定义域上的导函数为，区间是的非空子集，如果存在实数，使得对任意的，都有，且成立，则称为区间上的“函数”.
(1)判断是否为上的函数，并说明理由.
(2)已知函数，.
（i）若是上的函数，证明：是上的函数；
（ii）若和的图象与轴共有三个不同的交点，从左至右依次为，，，证明：是线段的中点.
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《山东省齐鲁名校教研共同体2024-2025学年高三下学期考前质量检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
A
C
C
C
D
AC
ACD
题号
11
答案
BD
1．D
【分析】先求集合，根据即可的基本关系和运算即可求解.
【详解】依题意得，，所以.
均不成立，,ABC错误
故选：D.
2．D
【分析】根据给定条件，结合离心率的意义列式求解.
【详解】设的半焦距为，依题意，则，，