培优点2著名的不等式
分值：40分
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.实数x，y满足3x2+4y2=12，则z=2x+3y的最小值是()
A.-5 B.-6 C.3 D.4
2.设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一个排列，则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是()
A.(0，30] B.(20，30]
C.[20，30] D.[20，30)
3.权方和不等式作为基本不等式的一个变形，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y0，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax
A.16 B.25 C.36 D.49
4.若实数x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为()
A.14 B.114 C.29 D.
5.在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是()
A.32 B.3 C.32 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.若a1，b1，则a2b?1+b
7.半径为R的球的内接三棱锥的体积V的最大值为.?
8.设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sinα+β
答案精析
1.A2.C3.B
4.B[根据柯西不等式得
(x2+y2+z2)(1+4+9)
≥(x+2y+3z)2=1，
即x2+y2+z2≥114
当且仅当x=114，y=17，z=314
5.D[因为y=sinx在区间(0，π)上是凸函数，根据琴生不等式可得，
sinA+sinB+sinC3≤sinA
得sinA+sinB+sinC≤33
当且仅当A=B=C=π3
即sinA+sinB+sinC的最大值是332
6.8
解析a2b?1+b
令a+b-2=t，
则(a+b)2a+b?2=
当且仅当ab?1=ba?1
所以a2b?1+b
7.8327
解析设三棱锥为P-ABC，△ABC的外接圆半径为r，
则S△ABC=2r2sinA·sinB·sinC
≤2r2sin
≤2r2sin
=2r2323=33
当且仅当A=B=C=60°时，等号成立，
若球心O到平面ABC的距离为h，
则V≤13S△ABC(R+h)≤34r2(R+
=34(R2-h2)(R+h
=38(R+h)(R+h)(2R-2h
≤3
=8327R
当且仅当三棱锥P-ABC为正四面体时，等号成立.
8.1
解析在长方体中有sin2α+sin2β+sin2γ=1，
注意到sin2α=1-sin2β-sin2γ=cos2β-sin2γ=12(1+cos2β)-12(1-cos2γ)=cos(β+γ)·cos(β-γ)
因为β，γ均为锐角，
所以cos(β-γ)0.
从而cos(β+γ)0，即0β+γπ2
同理0α+βπ2，0γ+απ
又y=cosx在0，
由琴生不等式有
3cos(
≥cos(α+β)+cos(β+γ)+cos(γ+α)
≥cos(α+β)·cos(α-β)+cos(β+γ)·cos(β-γ)+cos(γ+α)·cos(γ-α)
=sin2α+sin2β+sin2γ=1，
则cos2α+2β
即sinα+β+
另一方面，
sin2α=cos(β+γ)·cos(β-γ)
cos2(β+γ)=sin2π2
由α，β+γ均为锐角，
则απ2-β-
从而α+β+γπ2
又α→0+，β→0+，γ→π2
有α+β+
综上，12sinα+