利用射影定理解三角形的边角问题
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.以“a＝bcosC＋ccosB”为例，b，c在a上的射影分别为bcosC，ccosB，故名射影定理.
（2023·全国甲卷文17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2
（1）求bc；
（2）若acosB－bcosAacosB＋
解：（1）由余弦定理，得b2＋c2－a2cosA＝2bccos
（2）法一（常规解法）由正弦定理可得acosB－bcosAacosB＋
＝sin（A－
变形可得：sin（A－B）－sin（A＋B）＝sinB，即－2cosAsinB＝sinB，
而0＜sinB≤1，所以cosA＝－12，又0＜A＜π，所以sinA＝3
故△ABC的面积为S△ABC＝12bcsinA＝12×1×32
法二（利用射影定理）由acosB＋bcosA＝c，可得acosB－bcos
acosB－bcosA＝c＋b，a·a2＋c2－b22ac
化简可得a2－b2＝c2＋bc，cosA＝－12
又0＜A＜π，所以sinA＝32
故△ABC的面积为S△ABC＝12bcsinA＝12×1×32
1.（2025·绍兴一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2bcos（B＋C）－acosC＝ccosA，则A＝（）
A.π6 B.π
C.π3 D.
解析：D因为2bcos（B＋C）－acosC＝ccosA，所以2bcos（B＋C）＝acosC＋ccosA，可得2bcos（B＋C）＝b，所以cosA＝－12，又A∈（0，π），所以A＝2π3.
2.（2025·遂宁第一次诊断）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ca＝1+cosC2－cosA，c＝4，C＝π3，
A.23 B.43C.12 D.16
解析：B由ca＝1+cosC2－cosA，即2c＝a＋acosC＋ccosA，由射影定理可得a＋b＝2c，因为c＝4，所以a＋b＝2c＝8，又C＝π3，所以由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22ab＝（a＋b）2－2ab－162ab＝48－2ab2
3.（2025·河北名校联盟测试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是△ABC的中线.若AD＝2，且b2＋c2＋bc＝（bcosC＋ccosB）2，则△ABC面积的最大值为43.
解析：由bcosC＋ccosB＝a，又b2＋c2＋bc＝（bcosC＋ccosB）2，可得b2＋c2＋bc＝a2，cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，又A∈（0，π），所以A＝2π3，因为AD是△ABC中BC边上中线，则AD＝12AB＋12AC，即2AD＝AB＋AC，所以4AD2＝AB2＋AC2＋2AB·AC，所以16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc，可得bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立，故S△ABC＝