公众号：菜没油38
(4)
(5)
2.
解：这一题题目也缩了考察的是Fourier变换的性质，注意到这些题目中所需要变换的函数大多与前一题或者书本例题已经得到Fourier变换结果的函数有关，因而基于此对该问进行Solve。
(1)
(例1)
(2)
其中，……emm,前一题的第(4)问
(3)
由例1得
(4)
结合T(3)、(4)
(5)
由(3)直接得到结果
(6)
利用例4与(3)
(7)
(8)
利用(7)
(9)
由于f是偶函数，故
公众号：菜没油39
3.解：
(1)
(2),(3)略，believeinyourself。。
4.
(1)
对于该定解问题等式两边关于变量x做Fourier变换.
得
40
其中，ü(λ,t)为解u(x,t)关于x的Fourier变换式，求解该ODE得
再对上式两边反演
(2)给答案，给答案…敲公式真的累死了
5.证：花D不会打，全打D……后续同
(1)Vψ∈D(R)
4(x)S(x),y)=(8(x),φy)=φ(0)(0)
=φ(0)(δ,ψ〉
=(4(0)δ,y)→φ(x)δ(x)=φ(0)δ(·)
公众号：菜没油
(2)
Vψ∈D(R)
(φ(x)8(x),〉=(8(x),φ〉==(6(x),()
=-(φ4)(0)
=-φ(0)w(0)-φ(O)4(0)
=-φ(0)(δ,y-φ(0)(δ,ψ〉=φ(0)(8°,y-φ(0)(δ,ψ〉=-φ(0)δ(x)+4(0)8(x),y〉
(3)
Vφ∈D(R)
x8(”)(x),9〉=(81)(x),x)
=(-1)“〈?(x),(x)“〉
=(-1)”(δ(x),xφ(m+moφ(m-)=(-1)”[0φ“+moφ-1](0)]
=(-1)S(x),mg(-)
=(-1)”(-1)”?1s?1(x),mp)=(-ms0O-1)(x),φ)
(4)
Vφ∈D(R)
(x”s(“)(x),9)
=(-1)m!φ(0)=(-1)m!δ(x),φ(·)〉
公众号：菜没油41
(5)
=-(H(x)p(x),φ
=-(H(x),p(x)φ
=(H′,p)+(Hp’,φ)
=(8,pφ+Hp,φ〉
=(p(0)δ,φ)+(Hp’,φ〉=(p(0)δ+Hp’,φ〉
6.解：
(1)注意到
(kx|)=(x(H(x)-H(-x)))=H(x)-H(-x)
x1)“=(H(x)-H(-x)(?=(28(x)(-2)=281”-23(x)
(2)由第五题的第二小问啊啊
(H(x)sinx)=δ(x)·0+H(x)cosx=H(x)cosx
(3)(H(x)e“*)=(δ(x)+aH(x)e)=8(x)+aδ(x)+a2H(x)ea
7.解(1)
f(x)=(sinxH(x)=cosxH(x)
(2)
f(x)=(cosxH(x)=δ(x)-sinxH(x)
(3)
f(x)=x2[H(x+1)-H(x-1)]
→f(x)=[H(x+1)-H(x-1)]2x+δ(x+1)-δ(·-1)
公众号：菜没油42
8.解：(1)
令
容易验证Φ,-a2①=0
令v=u-U?,则问题转化为
令,则v满足v,-a2vα=0与v(0,t)=0则可利用v(x,0)=-U。反解：
(2)
作偶延拓
”
考虑问题
易知其满足方程和边界条件，再由初始条件可以机道C?=-U?/2
公众号：菜没油43
故
(3)/(4)与(2)同理，所以就略喽
9.此题只推选了(1),(2),(5)作为典型模范，其余题目同志向三者学习即可(1)
令u(x,t)=X(x)T(t)
把它代入泛定方程有
X(x)T(t)-X”(x)T(t)=X(x)T(t)
令
又有边条件，可得Sturm-Liouville问题
由书籍讲解已知特征值为
对应特征函数为
于是有T(t)+(λ?-1)T,(t)=0
又由初始条件知
公众号：菜没油44
(2)
解：
令u(x,t)=X(x)T(t)
把它代入泛定方程有X(x)T(t)-a2X”(x)T(t)=0
因而有