第2节两直线的位置关系
【课标要求】（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直；（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；（3）探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
知识点一两直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
类别
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0（A12＋B12≠0），A2x＋B2y＋C2＝0（A2
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2，且b1≠b2
A1B2－
重合
k1＝k2，且b1＝b2
A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
提醒在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了两条直线或一条直线斜率不存在的情形.
2.两直线相交
（1）交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x
（2）相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
（3）平行?方程组无解；
（4）重合?方程组有无数个解.
结论直线系方程
（1）与直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直或平行的直线方程可设为：
①垂直：Bx－Ay＋m＝0；
②平行：Ax＋By＋n＝0（n≠C）.
（2）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2.
（1）〔多选〕（湘教选一P81习题3题改编）已知直线l1：ax＋y－3a＝0，直线l2：2x＋（a－1）y－6＝0，则（ABC）
A.当a＝3时，l1与l2的交点是（3，0）
B.直线l1与l2都恒过点（3，0）
C.若l1⊥l2，则a＝1
D.?a∈R，使得l1∥l2
解析：（1）对于A，当a＝3时，l1：3x＋y－9＝0，l2：x＋y－3＝0，3x＋y－9=0，x＋y－3=0，解得x=3，y=0，故交点为（3，0），即A正确；对于B，l1：a（x－3）＋y＝0，恒过定点（3，0），l2：ay＋2x－y－6＝0，y=0，2x－y－6=0，解得x=3，y=0，也过定点（3，0），故B正确；对于C，当l1⊥l2时，2a＋a－1＝0，得a＝13，故C正确；对于D，由l1∥l2可得a（a－1）－2＝0，解得a＝－1或2，当a＝－1时，l1：x－y－3＝0，l2：x－y－3＝0，两直线重合，不符合题意，当a＝2时，l1：2x＋y
（2）过直线l1：5x＋2y－3＝0和l2：3x－5y－8＝0的交点，且与直线x＋4y－7＝0垂直的直线l的方程为4x－y－5＝0.
解析：（2）法一（常规解法）由5x+2y－3=0，3x－5y－8=0，得l1与l2的交点坐标为（1，－1）.∵直线x＋4y－7＝0的斜率为－14，∴直线l的斜率为4.因此满足条件的直线l的方程为y＋1＝4
法二（利用垂直直线系方程）∵直线l垂直于直线x＋4y－7＝0，∴可设直线l的方程为4x－y＋c＝0.易知l1与l2的交点为P（1，－1），∴4×1－（－1）＋c＝0，从而c＝－5.∴直线l的方程为4x－y－5＝0.
法三（利用过两直线交点的直线系方程）由于直线l过l1与l2的交点，∴可设直线l的方程为5x＋2y－3＋λ（3x－5y－8）＝0，即（5＋3λ）x＋（2－5λ）y－3－8λ＝0.∵l与直线x＋4y－7＝0垂直，∴k＝－5+3λ2－5λ＝4，从而λ＝1317.∴直线l的方程为4x－
规律方法
1.两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在：（1）两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；（2）两直线垂直?两直线的斜率之积等于－1.
2.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
练1（1）（2024·新乡三模）已知直线l1：2x＋my－1＝0，l2：（m＋1）x＋3y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（C）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）已知直线l1：3x－y＋1＝0，l2：x＋y－5＝0，l3：x－ay－3＝0，若直线l1，l2，l3不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值－12（或13或－1）
解析：（1）当m＝2时，直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：3x＋3y＋1＝0，则l1∥l2，当l1∥l2时，2m+1＝m3≠－11，解得m＝2，所以“m＝2”是“l1∥l2”
（2）由3x－y+1=0，x＋y－5=0，解得x=1，y=4，所以l1，l2的交点坐标为（1，4），l3：（x－3）－ay＝0过定点（3，0），若直线l1，l2，l3不能围成三角形，只需l