高考真题衍生卷·命题区间16
1．D[依题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，设直线AB的方程为y＝kx＋m，与双曲线方程联立可得(9－k2)x2－2kmx－m2－9＝0，则9－k2≠0，Δ＝4k2m2＋4(9－k2)(m2＋9)＞0，即k≠±3，且－k2＋m2＋9＞0．由点A，B在双曲线上可得x
两式作差可得(x1＋x2)(x1－x2)－y1-y
整理得x1+x2y
对于A选项，直线AB的斜率为y1-y2x1-x2＝9，则直线AB的方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8，－k2＋m2＋9
对于B选项，直线AB的斜率为y1-y2x1-x2＝-92，则直线AB的方程为y
对于C选项，直线AB的斜率为y1-y
对于D选项，直线AB的斜率为y1-y2x1-x2＝94，则直线AB的方程为y＋4＝94(x＋1)
2．AC[对于A，直线y＝－3x-1过点1，0，所以抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F1，0，所以p2＝1，即p＝2，则A正确，且抛物线C的方程为
对于B，设Mx1，y1，Nx
由y＝-3x-1，y2＝4x，消去y并化简得3x2－10x＋3＝0，解得
所以MN＝x1
因为MN的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线的距离为1＋5
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
又M3，
所以|OM|＝9+12＝21，ON＝
所以△OMN不是等腰三角形，所以D错误．故选AC．]
3．12或-12[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±12x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以
4．解：(1)记C的半焦距为c，由题得C的离心率e＝ca＝2，
由对称性不妨设C的顶点为(a，0)，渐近线方程为bx－ay＝0，则aba2
又a2＋b2＝c2，③
联立①②③解得a＝2，
所以C的方程为x22-
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝kx+2，x22-y26＝1，得(3－
所以3-
解得－5＜k＜5，且k≠±3(*)，
所以x1＋x2＝4k3-
所以|AB|＝1+
＝1+
又点O到直线l的距离d＝21+
所以△AOB的面积S＝12AB·d＝
解得k＝±1或k＝±2，符合(*)式，
所以k＝±1或k＝±2．
5．解：(1)设F(c，0)，由题设有c＝1且b2a＝32，故a2-1a＝
故椭圆C的方程为x24+
(2)证明：直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由3x2+4y2＝12，y＝kx-4，可得(3＋4k2)x2－
故Δ＝1024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)0，解得－12k1
又x1＋x2＝32k
而N52，0，故直线BN：y＝y2x2
所以y1－yQ＝y1＋3
＝kx1-4×
＝k·2×64k2-123+4k2
故y1＝yQ，即AQ⊥y轴．
6．C[将直线y＝x＋m与椭圆方程联立得y＝x+m，x23+y2＝1，消去y，可得4x2
因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×43m2-30，解得－
设点F1到直线AB距离为d1，点F2到直线AB距离为d2，易知F1-2
则d1＝-2+m2，d
解得m＝－23或m＝－32(舍去)．故选C．
7．解：(1)由题意得抛物线C的准线方程为x＝－p2
因为点P(x0，2)在抛物线C上且到焦点F的距离为2，
所以2px0
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x．
(2)由(1)得抛物线C的准线方程为x＝－1，焦点F(1，0)，
设Q(－1，m)，直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，
则直线l1的方程为y＝k1(x＋1)＋m，
直线l2的方程为y＝k2(x＋1)＋m．
令x＝0可得M(0，k1＋m)，N(0，k2＋m)，
所以S△QMN＝12×MN×1＝1
所以|k1－k2|＝25，即(k1－k2)2＝20．
设过点Q的直线方程为y＝k(x＋1)＋m，k≠0，
由y
消去x得y2－4ky+4mk＋
因为直线y＝k(x＋1)＋m与抛物线C相切，
所以Δ＝-4k2
即k2＋mk－1＝0．
因为直线l1，l2均与抛物线C相切，
所以k1，k2是方程k2＋mk－1＝0的两实数根，
由根与系数的关系得k1＋k2＝－m，k1k2＝－1．
由(k1－k2)2＝20得(k1＋k2)2－4k1k2＝m2＋4＝20，
解得m＝±4，
此时对于k2＋mk－1＝0，有Δ＝m2＋4＞0，满足题意，
所以Q(－1，±4)，
所以|QF|＝-1-12