第3节不等式及其性质
考试要求1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
【知识梳理】
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab，,a－b＝0?a＝b，,a－b0?ab.))
(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0）.))
2.不等式的性质
性质1若ab，则ba.
性质2若ab，bc，则ac.
性质3若ab，则a＋cb＋c.
性质4若ab，c0，则acbc；
若ab，c0，则acbc.
性质5若ab，cd，则a＋cb＋d.
性质6若ab0，cd0，则acbd.
性质7若ab0，则anbn(n∈N*).
[常用结论与微点提醒]
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若ab0，m0，则eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；
eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0).
(2)若ab0，则ab?eq\f(1,a)eq\f(1,b).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b?ac3＞bc3.()
(2)a＝b?ac＝bc.()
(3)若eq\f(a,b)1，则ab.()
(4)axb0?eq\f(1,b)eq\f(1,x)eq\f(1,a).()
答案(1)×(2)×(3)×(4)√
解析(1)由不等式的性质，ac3＞bc3?/a＞b；
反之，c≤0时，a＞b?/ac3＞bc3.
(2)由等式的性质，a＝b?ac＝bc；
反之，c＝0时，ac＝bc?/a＝b.
(3)a＝－3，b＝－1，则eq\f(a,b)1，但ab.
2.(多选)(教材改编)下列命题为真命题的是()
A.若ac2＞bc2，则a＞b
B.若a＞b＞0，则a2＞b2
C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D.若a＜b＜0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)
答案ABD
解析C中，若a＝－2，b＝－1，
则a2＞ab＞b2，故C错误.
3.(教材改编)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________.
答案M＞N
解析M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2
＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M＞N.
4.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是________.
答案(－7，12)
解析∵－3＜b＜5，∴－6＜2b＜10，
又－1＜a＜2，∴－7＜a＋2b＜12.
考点一比较数(式)的大小
例1(1)(2024·石家庄调研)已知a＝eq\f(1,2)eeq\f(3,4)，b＝eq\r(e)，c＝eq\f(e＋1,2)，则()
A.abc B.bac
C.bca D.cba
答案A
解析因为2c－2b＝e－2eq\r(e)＋1＝(eq\r(e)－1)20，
所以2c2b，即cb；
又因为(2b)4－(2a)4＝16e2－e3＝e2(16－e)0，
所以(2b)4(2a)4，
又a，b均为正数，所以2b2a，
即ba，所以abc.
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.
答案eπ·πe＜ee·ππ
解析eq\f(eπ·πe,ee·ππ)＝eq\f(eπ－e,ππ－e)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))eq\s\up12(π－e)，
又0＜eq\f(e,π)＜1，0＜π－e＜1，
所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))eq\s\up12(π－e)＜1，即eq\f(eπ·πe,ee·ππ)＜1，
即eπ·πe＜ee·ππ.
感悟提升比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
训练1(1)(2023·湖南师大附中月考)已知P＝a2＋b2＋eq\f(1,c2)＋c2，Q＝2a＋2b，则()
A.P≤Q
B.P＝Q
C.P≥Q
D.P，Q的大小无法确定
答案C
解析P－Q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＋\f(1,c2)＋c2))－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2＋eq\b\