午练5函数的性质
一、选择题
1.已知函数y＝f(2x)－x为奇函数，且f(－4)＝1，则f(4)＝()
A.1 B.－1
C.5 D.－5
答案B
解析设g(x)＝f(2x)－x，则g(－2)＝f(－4)－(－2)＝1＋2＝3.因为g(x)＝f(2x)－x为奇函数，所以g(2)＝f(4)－2＝－3，解得f(4)＝－1，故选B.
2.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＋f(4－x)＝0，且当x∈[0，2]时，f(x)＝－x2＋4，则f(2025)＝()
A.－4 B.－3
C.3 D.0
答案C
解析由f(x)＋f(4－x)＝0，得f(x)＝－f(4－x)＝－f(x－4)＝f(x－8)，
所以f(x)是周期为8的周期函数，
则f(2025)＝f(8×253＋1)＝f(1)＝3.
3.已知函数f(x)＝eq\f(ax－1,x－a)在(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－1，1)
C.(－∞，－1)∪(1，2]
D.(－∞，－1)∪(1，2)
答案C
解析根据题意，函数f(x)＝eq\f(ax－1,x－a)＝eq\f(a（x－a）＋a2－1,x－a)＝eq\f(a2－1,x－a)＋a，
若f(x)在区间(2，＋∞)上单调递减，必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－10，,a≤2，))解得a－1或1a≤2，即a的取值范围为(－∞，－1)∪(1，2].故选C.
4.(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正确的是()
A.f(0)是函数的最小值
B.f(x)的图象关于点(1，0)对称
C.f(x)在[2，4]上单调递增
D.f(x)的图象关于直线x＝2对称
答案ABD
解析对于A，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.又f(x)在[－2，0]上单调递减，且在R上是偶函数，所以f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(0)是函数的最小值，故A正确；
对于B，由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋2)＋f(－x)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故B正确；
对于C，因为f(x)在[－2，0]上单调递减，且f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)在[2，4]上单调递减，故C错误；
对于D，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，故D正确.故选ABD.
5.(多选)函数f(x)为定义在R上的偶函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，若当x∈[0，2]时，f(x)＝3x＋2x－1，则下列结论正确的是()
A.f(x)的周期为4
B.f(x)在[－4，－2]上单调递减
C.f(x)关于直线x＝－2对称
D.f(2025)＝12
答案AC
解析由f(x)＝f(－x)，f(2＋x)＝f(2－x)?f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x＋4)＝f(x＋2－2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，选项A正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝3x＋2x－1，则f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)在[－4，－2]上单调递增，故选项B错误；因为f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝－2对称，故选项C正确；因为函数f(x)是周期为4的偶函数，则f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝3＋2－1＝4，故选项D错误.
二、填空题
6.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋x2是奇函数，f(x)＋x3是偶函数，则f(2)等于________.
答案－12
解析f(x)＋x2是奇函数，则f(－2)＋4＝－[f(2)＋4]＝－f(2)－4，
由于f(x)＋x3是偶函数，
则f(－2)－8＝f(2)＋8，
所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）＋f（－2）＝－8，,f（2）－f（－2）＝－16，))
解得f(2)＝－12.
7.已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是________.
答案f(x)＝－x2或f(x)＝－|x|(答案不唯一)
解析根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件，
若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为(－∞，＋∞)，开口向下，对称轴为x＝0，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，
所以f(x)的一个解析式是f(x)