第2课时平面向量基本定理及坐标表示
[考试要求]1．了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝____________________，a－b＝____________________，λa＝______________，|a|＝____．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝____________________，|AB|＝____．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b?_______________．
[常用结论]
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为x1
3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为x1
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底． ()
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标． ()
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1x2＝y
(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2． ()
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则12a－32
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
2．(人教A版必修第二册P30例5改编)已知?ABCD的三个顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为()
A．(1，4) B．(1，5)
C．(2，4) D．(2，5)
3．(多选)(人教A版必修第二册P60复习参考题6T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是()
A.e1＝
B.e1＝0，
C.e1＝
D.e1＝2
4．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，则点P的坐标为________．
考点一平面向量基本定理的应用
[典例1](1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记CA＝m，CD＝n，则CB＝()
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
(2)如图，在△ABO中，已知OA＝a，OB＝b，OM＝13a，ON＝12b，AN与BM交于点P，则OP＝________(用向量a，
[听课记录]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
[跟进训练]
1．(1)(2024·上海浦东新区三模)给定平面上的一组不共线向量e1
A．2e1＋e2和e1－e2
B．e1＋3e2和e2＋3e1
C．3e1－e2和2e2－6e