第1课时两角和、差及倍角公式
公式的直接应用
1.已知tanα－π3＝33，则tan2α
A.－43 B.－3
C.43 D.3
解析：A由tanα－π3＝tanα－tanπ31+tanαtanπ3＝33，求得tan
2.（2023·新高考Ⅰ卷8题）已知sin（α－β）＝13，cosαsinβ＝16，则cos（2α＋2β）＝（
A.79 B.
C.－19 D.－
解析：B因为sin（α－β）＝13，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝13.因为cosαsinβ＝16，所以sinαcosβ＝16＋13＝12，所以sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋16＝23，所以cos（2α＋2β）＝cos2（α＋β）＝1－2sin2（α＋β）＝1
3.（2021·全国乙卷6题）cos2π12－cos25π12
A.12 B.
C.22 D.
解析：D因为cos5π12＝sinπ2－5π12＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12＝cos2π12－sin2
4.若sin（π4－θ）＝13，则cos2θ
答案：2
解析：因为sin（π4－θ）＝13，所以sinπ4cosθ－cosπ4sinθ＝13，即cosθ－sinθ＝23，又cos2θsinθ＋cosθ＝cos2
练后悟通
应用和、差、倍角公式化简求值的策略
（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
公式的逆用及变形用
【例1】（1）（教材题改编）在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB＝（
A.14 B.
C.12 D.
（2）（2022·新高考Ⅱ卷6题）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝22cosα＋π4sinβ，则
A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1
C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1
答案：（1）B（2）C
解析：（1）∵C＝120°，∴tanC＝－3.∵A＋B＝180°－C，∴tan（A＋B）＝－tanC，∴tan（A＋B）＝3，tanA＋tanB＝3（1－tanAtanB），又∵tanA＋tanB＝233，∴tanAtanB＝
（2）由题意得sinαcosβ＋sinβcosα＋cosαcosβ－sinαsinβ＝22×22（cosα－sinα）sinβ，整理，得sinα·cosβ－sinβcosα＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，∴tan（α－β）＝－1，故选
解题技法
和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
（1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
（2）tanαtanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，应注意公式的逆用和变形用.
提醒（1）逆用公式时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
（2）注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的.
1.（多选）下列等式能够成立的为（）
A.sin15°cos15°＝1
B.sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝1
C.cos105°cos75°－sin105°cos15°＝－1
D.3sin15°＋cos15°＝1
解析：BC对于A：sin15°cos15°＝12sin30°＝14，A错误；对于B：sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝sin（75°＋15°）＝sin90°＝1，B正确；对于C：cos105°cos75°－sin105°cos15°＝cos（105°＋75°）＝cos180°＝－1，C正确；对于D：3sin15°＋cos15°＝2sin（15°＋30°）＝2sin45°＝2，D错误.故选B
2.已知α，β，γ∈（0，π2），sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α＝
答案：π
解析：由题意知，sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，将两式分别平方后相加，得1＝（sinβ－sinα）2＋（cosα－cosβ）2＝2－2（sinβsinα＋cosβcosα），∴cos（β－α）＝12，∵γ∈（0，π2），∴sinγ＝sinβ－s