第4课时复数
[考试要求]1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，记作z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i是虚数单位，实部是___，虚部是___．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数?______________(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_______或___________，即|z|＝|a＋bi|＝____(a，b∈R)．(即表示点Z(a，b)与原点O的距离)
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点___________及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_____________________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_____________________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝_________________________；
④除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic?di
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1+
[常用结论]
1．(1±i)2＝±2i；1+i1?i＝i；1?
2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
3．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
5．若ω＝－12±3
(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0．
6．z＝z?z∈R．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0． ()
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ()
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi． ()
(4)方程x2＋2x＋4＝0没有解． ()
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
2．(人教A版必修第二册P80练习T2改编)(1＋i)(1－2i)＝()
A．－1＋2i B．－1－2i
C．3＋i D．3－i
3．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是()
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
4．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)改编)复数5i
考点一复数的有关概念
[典例1](1)(2024·山东菏泽一模)已知复数z满足z(1＋i)＝i2024，其中i为虚数单位，则z的虚部为()
A．－12 B．1
C．－12i D．
(2)若z是纯虚数，|z|＝1，则21?z
[听课记录]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类