培优点8阿基米德三角形
重点解读在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及阿基米德三角形问题，它包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
题型一抛物线的切线方程与切点弦方程
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.
例1(1)(多选)下列选项正确的是()
A.过抛物线x2＝2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0)
B.过抛物线x2＝－2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝－p(y＋y0)
C.过抛物线y2＝2px(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0)
D.过抛物线y2＝－2px(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y＝－p(x－x0)
答案ABC
解析仅以选项A为例给出证明，同理可证其余三种情形.
方法一设抛物线x2＝2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，
代入x2＝2py，整理得
x2－2pkx－2py0＋2pkx0＝0，
由Δx＝0，得4p2k2＋4(2py0－2pkx0)＝0，
∴pk2－2x0k＋2y0＝0，
∵抛物线上一点处的切线唯一，
∴关于k的一元二次方程pk2－2x0k＋2y0＝0有两个相等的实数根，
∴k＝x0
∴所求的切线方程为y－y0＝x0p(x－x0
即x0x＝x02＋py－py
又x02＝2py
∴过抛物线x2＝2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0).
方法二y＝x22p，y
由导数的几何意义得所求切线的斜率为k＝x0
∴所求的切线方程为y－y0＝x0p(x－x0
即x0x＝x02＋py－py
又x02＝2py
∴过抛物线x2＝2py(p0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0).
(2)过抛物线x2＝2py(p0)外一点C(x0，y0)向抛物线引两条切线，设两切点分别为点A，B，则过点A，B的直线方程为.?
答案x0x＝p(y＋y0)
解析设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知在点A处的切线方程为x1x＝p(y＋y1)，在点B处的切线方程为x2x＝p(y＋y2)，
因为点C(x0，y0)在两条切线上，
所以x
即可认为(x1，y1)，(x2，y2)是x0x＝p(y0＋y)的两组解，
即A，B在直线x0x＝p(y＋y0)上，
又因为两点确定一条直线，所以过点A，B的直线方程为x0x＝p(y＋y0).
思维升华在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以y0y替换y2，以x0＋x2替换x，以y
跟踪训练1已知曲线C：y＝x22，D为直线y＝－12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点________________
答案0
解析方法一设Dt，-12，A(x1，
则x12＝2y
由于y＝x，所以切线DA的斜率为x1，
故y1＋12
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点0，
方法二设Dx0，-12，由切点弦的方程可知，直线AB的方程为y＝x
所以直线AB过定点0，
题型二阿基米德三角形的性质
例2(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是()
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆
B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)
C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p
答案ABC
解析对于A，由蒙日圆的定义知A正确；
对于B，过点A的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，①
过点B的切线方程为y2y＝p(x＋x2)，②
又y
联立①②③④，解得两切线交点Qy1
又Mx1
∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；
对于C，设Q(x0，y0)，
则直线AB的方程为y0y＝p(x＋x0)，
又直线AB经过焦点Fp2
∴0＝pp2＋x0，∴x0＝－
对于D，若底边AB过焦点，
则Q点的轨迹方程是x＝－p2
易验证kQA·kQB＝－1，即QA⊥QB，
故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，∴|QM|＝x1＋x22＋p2＝y12＋y2
∴S△QAB＝12|QM||y1－y2
≥|QM|·|y1y2
当且仅当y1＝－y2时，等号成立，
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.
思维升华阿基米德三角形的常见性