第3课时等比数列
[考试要求]1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q表示，定义的表达式为____＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么___叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝_________＝amqn－m．
(2)前n项和公式：
Sn＝
提醒：求等比数列的前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
3．等比数列的性质
(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝________＝ak
(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an
(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
[常用结论]
1．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． ()
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac． ()
(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列． ()
(4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和Sn＝a1?an
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，则a
A．32B．－3C．－32
2．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()
A．31 B．32
C．63 D．64
3．(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于________．
4．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．
考点一等比数列基本量的运算
[典例1](1)(2022·全国乙卷)已知等比数列an的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6
A．14 B．12
C．6 D．3
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()
A．120 B．85
C．－85 D．－120
[听课记录]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解．
[跟进训练]
1．(1)(2025·河北唐山模拟)已知数列ann为等比数列，且a4＝2，a8＝16，则a
A．30