§5.2平面向量基本定理及坐标表示
分值：100分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知a=(5，-2)，b=(-4，-3)，若a-2b+3c=0，则c等于()
A.133，83
C.133，43
2.(2024·北京模拟)已知向量a=(λ+1，3)，b=(2，3)，若a与a+b共线，则实数λ等于()
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.平面内任一向量m都可以表示成λa+μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是()
A.向量a，b的方向相同
B.向量a，b中至少有一个是零向量
C.向量a，b的方向相反
D.当且仅当λ=μ=0时，λa+μb=0
4.已知AB=(1，-1)，C(0，1)，若CD=2AB，则点D的坐标为()
A.(-2，3) B.(2，-3)
C.(-2，1) D.(2，-1)
5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，若AM=5.5，则AP的长是()
A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4
6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，以AC为直径的半圆上有一点M，BM=λBC+3λBA，则实数λ等于()
A.3+14
C.32 D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，3)，则下列向量与2a+b平行的是()
A.2，23
C.(1，-2) D.?1，?
8.已知△ABC中，点P满足PA+PB=CP，点Q在△PBC内(含边界)，其中AQ=xAB+yAC，则()
A.若x=13，y=23，则
B.若P，Q两点重合，则AQ=13AB
C.存在x，y，使得x+2y=5
D.存在x，y，使得x+2y=3
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知向量OA=(3，4)，OB=(6，-3)，OC=(5-m，-3-m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是.?
10.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为.?
四、解答题(共27分)
11.(13分)平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).
(1)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(6分)
(2)若d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=5，求d的坐标.(7分)
12.(14分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，DM=13DC，BN=23BC
(1)若MN=λAB+μAD，求实数λ和μ的值；(7分)
(2)用向量AM，AN表示AE
13题6分，14~16题每小题5分，共21分
13.(多选)如图，在?OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=4BF，若OC=mOE+nOF，其中m，n∈R，则()
A.m+n=107 B.m-n=
C.2m=3n D.3m=2n
14.(2025·昆明模拟)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若OP=xe1+ye2(x，y∈R)，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的()
A.点M(1，2)关于点O的对称点不一定为M(-1，-2)
B.A，B两点间的距离为(
C.若向量OA平行于向量OB，则x1y2-x2y1的值不一定为0
D.若线段AB的中点为C，则点C的广义坐标为x
15.已知a=(x，y)，b=(x-1，9)(x0，y0)，若a∥b，则x+y的最小值为.?
16.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为.?
答案精析
1.D2.C3.D
4.D[设D(x，y)，则CD=(x，y-1)，2AB=(2，-2)，
根据CD=2AB，得(x，y-1)=(2，-2
即x=2，y
即D(2，-1).]
5.D[方法一设BM=e1，CN=e2
则AM=AC+CM=-3e2-e1，
BN=BC+CN=2e1+e2，
因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，
使AP=λAM=-λe1-3λe2，
BP=μBN=2μe1+μe2，
所以BA=BP-AP
=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2，
又BA=BC+CA=2e1+3e2，
所以λ+2μ
所以AP=4
所以AP=45AM=4.4
方法二设AP=λAM，λ∈R
因为M是BC的中点，AN=2NC，
则AM=12(AB
=12AB
AP=λAM=12λAB+34
又B，P，N