第2节空间点、直线、平面之间的位置关系
【课标要求】（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
知识点一四个基本事实
1.四个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
（4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
提醒三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面.
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
（1）如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是（C）
A.直线AC B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
解析：（1）由题意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.
（2）在三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则（B）
A.点P一定在直线BD上
B.点P一定在直线AC上
C.EH∥FG
D.EH与FG必相交
解析：（2）如图所示，因为EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，故A错误，B正确；易知直线EH，FG共面，则直线EH，FG平行或相交，故C、D错误.
规律方法
共面、共线、共点问题的证明方法
练1如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点；
（3）B，M，D1三点共线.
证明：（1）如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面.
（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示.
则由P∈CE，CE?平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，
∴CE，D1F，DA三线共点.
（3）连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，故BD1与A1C相交，
则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线，
∵BD1?平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，
即O与M重合，故B，M，D1三点共线.
知识点二空间点、线、平面之间的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线
与直
线
平行
a∥b
0个
相交
a∩b＝A
1个
异面
a，b是异
面直线
0个
直线
与平
面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平
面内
a?α
无数个
平面
与平
面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个
（1）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（D）
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析：（1）法一（反证法）由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.
法二（模型法）如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
（2）〔多选〕下列推断中，正确的是（ABD）
A.M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈l
B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C.l?α，A∈l?A?α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α，β重合
解析：（2）对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B