§2.3函数的奇偶性
课标要求1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.
函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0.(×)
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(×)
(3)对于函数y=f(x)，若f(-2)=-f(2)，则函数y=f(x)是奇函数.(×)
(4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是奇函数.(√)
2.下列函数中是偶函数的是()
A.y=2x B.y=cosx
C.y=lnx D.y=sinx
答案B
解析对于A，y=2x为定义域内的增函数，故为非奇非偶函数；
对于B，y=cosx的定义域为全体实数，且f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)，故为偶函数；
对于C，y=lnx的定义域为(0，+∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
对于D，y=sinx的定义域为全体实数，但是f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)，故为奇函数.
3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是()
A.f(x)+f(-x)=0 B.f(0)=0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(
答案ABC
解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，且f(0)=0，A，B正确；
因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0，当x=0时，等号成立，C正确；
当x=0时，f(-x)=0，此时f(x)f
4.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+b，则f(-1)=.?
答案-2
解析f(x)是奇函数，则f(0)=b=0，即当x≥0时，f(x)=2x，所以f(1)=2，从而f(-1)=-f(1)=-2.
1.理解函数奇偶性的常用结论
(1)①如果奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于y轴对称的区间上具有相反的单调性.
(3)若f(x)为奇函数，则f(x)+f(-x)=0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min+f(x)max=0.
2.谨防两个易误点
(1)求奇函数的解析式时，忽略x=0会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x=0处没有定义，要么在x=0处的函数值为0，即f(0)=0.
(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件.
题型一函数奇偶性的判断
命题点1常见函数奇偶性的判断
例1(多选)(2025·哈尔滨模拟)下列函数中具有奇偶性的是()
A.f(x)=x+sinx
B.f(x)=(x-1)x
C.f(x)=ln(x2+1-
D.f(x)=2x+1
答案ACD
解析A项，f(x)的定义域为R，由f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x)知，f(x)为奇函数；
B项，令x+1x?1≥0，解得x≤-1或x1，即函数f(x)的定义域为(-∞，-1]∪(1，+∞)，不关于原点对称，即f
C项，因为x2+1x2，所以x2+1-x0恒成立，即f(x)的定义域为
又f(-x)+f(x)=ln(x2+1+x)+ln(x2+1-x)=0，故
D项，f(x)的定义域为R，由f(-x)=12x+2x=f(x)知，f(x
命题点2抽象函数奇偶性的判断
例2(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有()
A.若恒有f(x3)=-f(-x3)，则f(x)是奇函数
B.若恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，则f(x)是偶函数
C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)是偶函数
D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠0，则f(x)是奇函数
答案AC
解析对于A，令t=x3，则t∈R，因为f(x3)=-f(-x3)，所以f(t)=-f(-t)，即f(-t)=-f(t)，所以f(t)是奇函数，即f(x)是奇函数，A正确；
对于B，令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0，令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(0)=0，所以f(-x)=-f