§2.3函数的奇偶性
课标要求1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.
函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果?x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果?x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)＝0.(×)
(2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.(×)
(3)对于函数y＝f(x),若f(－2)＝－f(2),则函数y＝f(x)是奇函数.(×)
(4)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)·g(x)是奇函数.(√)
2.下列函数中是偶函数的是()
A.y＝2x B.y＝cosx
C.y＝lnx D.y＝sinx
答案B
解析对于A,y＝2x为定义域内的增函数,故为非奇非偶函数；
对于B,y＝cosx的定义域为全体实数,且f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x),故为偶函数；
对于C,y＝lnx的定义域为(0,＋∞),不关于原点对称,故为非奇非偶函数；
对于D,y＝sinx的定义域为全体实数,但是f(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－f(x),故为奇函数.
3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是()
A.f(x)＋f(－x)＝0
B.f(0)＝0
C.f(x)·f(－x)≤0
D.f(x
答案ABC
解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)＋f(－x)＝0,且f(0)＝0,A,B正确；
因为f(－x)＝－f(x),所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0,当x＝0时,等号成立,C正确；
当x＝0时,f(－x)＝0,此时f(x)f(-
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝2x＋b,则f(－1)＝.?
答案－2
解析f(x)是奇函数,则f(0)＝b＝0,即当x≥0时,f(x)＝2x,所以f(1)＝2,从而f(－1)＝－f(1)＝－2.
1.理解函数奇偶性的常用结论
(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
2.灵活应用奇函数的两个特殊性质
(1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0.
(2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c.
3.谨防两个易误点
(1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0.
(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件.
题型一函数奇偶性的判断
命题点1常见函数奇偶性的判断
例1(多选)下列函数是奇函数的是()
A.f(x)＝tanx B.f(x)＝x2＋x
C.f(x)＝ex-e-x2 D.f(x
答案AC
解析对于A,函数的定义域为xx≠π2＋kπ,k∈Z,关于原点对称,且f(－x)＝tan(－x)＝－tan
对于B,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝x2－x≠±f(x),故函数为非奇非偶函数,不符合题意；
对于C,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝e-x-ex2＝－f(
对于D,函数的定义域为{x|x≠－1},不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,不符合题意.
命题点2抽象函数奇偶性的判断
例2(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有()
A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数
B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数
C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数
D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数
答案AD
解析对于A,若?t∈R,
当t0时,令t＝x2,因为f(x2)＝－f(－x2),
所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t)；
当t＝0时,令t＝x2＝0,
因为f(x2)＝－f(－x2),
所以f(0)＝－f(－0),即f(0)