§2.4函数的周期性和对称性
课标要求1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2.函数的对称性
(1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称；
(2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点(a，0)对称.
(3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x=a；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0).
3.两个函数图象的对称
(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.(√)
(2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称.(√)
(3)若函数y=f(x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.(×)
(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称.(√)
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2024.5)等于()
A.1716 B.54 C.2
答案B
解析由f(x+2)=f(x)可知，函数f(x)的一个周期为2，
当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，
∴f(2024.5)=f?2024+12=f?12=1
3.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞，2)上单调递增，且f(x+2)=f(2-x)对任意x∈R恒成立，则()
A.f(-1)f(3) B.f(0)f(3)
C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)
答案A
解析因为f(x+2)=f(2-x)，
所以f(x)的图象关于直线x=2对称，
所以f(3)=f(1)，
由于f(x)在(-∞，2)上单调递增，
所以f(-1)f(1)=f(3)，f(0)f(1)=f(3).
4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点.?
答案(-1，2)
解析y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称，y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，
则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1，2).
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则2|a|是f(x)的一个周期；
(2)若f(x+a)=1f(x)，则2|a|是
(3)若f(x+a)=-1f(x)，则2|a|是
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的一个周期为2|a-b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为2|a-b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为4|a-b|.
题型一函数的周期性
例1(1)已知函数f(x)满足f(2+x)=-f(x)，当2≤x≤3时，f(x)=x2-x，则f(2026)等于()
A.0 B.2 C.6 D.20
答案B
解析因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
所以f(x)的一个周期为4，
所以f(2026)=f(506×4+2)=f(2)=22-2=2.
(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x-1)=f(x+2)，又f(-1)=1，f(0)=-2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)的值是()
A.2024 B.2023 C.1 D.0
答案D
解析因为f(x-1)=f(x+2)，
所以f(x)=f(x+3)，
所以f(x)的一个周期为3，
由f(-1)=1，得f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1，
由f(0)=-2，得f(3)=f(0+3)=f(0)=-2，
因