§2.4函数的周期性和对称性
课标要求1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2.奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称.
(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0).
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.(√)
(2)若函数y＝f(x)是奇函数,则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称.(√)
(3)若函数y＝f(x＋1)是偶函数,则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称.(×)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x),则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(√)
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,则f(2024.5)等于()
A.1716 B.54 C.2 D
答案B
解析由f(x＋2)＝f(x)可知,函数f(x)的周期为2,
当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,
∴f(2024.5)＝f?2024＋12＝f?1
3.下列函数与y＝ex关于直线x＝1对称的是()
A.y＝ex－1 B.y＝e1－x
C.y＝e2－x D.y＝lnx
答案C
解析记f(x)＝ex,则关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x,即y＝e2－x.
4.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),则函数y＝－f(－x)的图象必过点.?
答案(－1,2)
解析y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称,y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),
则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝1f(x),则T
(3)若f(x＋a)＝－1f(x),则T
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|.
题型一函数的周期性
例1(1)若偶函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0,当x∈(0,1)时,f(x)＝x2＋1,则f?72等于
A.2 B.74 C.54 D
答案C
解析由已知可得f(x＋2)＋f(x)＝0?f(x＋4)＋f(x＋2)＝0?f(x＋4)＝f(x),
即T＝4是函数f(x)的一个周期,
所以f?72＝f?-12＝f?1
(2)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x－2)是偶函数,当0≤x≤2时,f(x)＝x2－4x,则当6≤x≤8时,f(x)的解析式为()
A.f(x)＝－x2－4x
B.f(x)＝x2－16x＋60
C.f(x)＝x2－12x＋32
D.f(x)＝－x2＋12x－32
答案D
解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(x－2)为偶函数,
所以f(－x)＝－f(x),f(－x－2)＝f(x－2),即f(－x)＝f(x－4),
所以f(x－4)＝－f(x),
所以f(x＋4)＝－f(x),
可得f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x),
所以f(x)的一个周期为8,
又当0≤x≤2时,f(x)＝x2－4x,
当6≤x≤8时,则0≤8－x≤2,所以f(8－x)＝(8－x)2－4(8－x)＝x2－12x＋32,
又f(x)