§2.7指数运算与对数运算
课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应用.
1.根式
(1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.
(2)式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a
(3)(na)n=a
当n为奇数时，nan=
当n为偶数时，nan=|a
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂：amn=nam(a0，m，n∈N
正数的负分数指数幂：a?mn=1amn=1nam(a0，
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a0，b0，r，s∈R).
4.对数的概念
一般地，如果ax=N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.?
以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.?
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1=0，logaa=1，alogaN=N(a0，且a
(2)对数的运算性质
如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：
①loga(MN)=logaM+logaN；
②logaMN=logaM-logaN
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(3)对数换底公式：logab=logcblogca(a0，且a≠1；
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)4(?4)4=-4.(
(2)若M=N，则logaM=logaN.(×)
(3)2a·2b=2ab.(×)
(4)lg2+lg5=1.(√)
2.(多选)下列运算正确的有()
A.lg2+lg3=lg5 B.log3100=10log310
C.4log45=5 D.log
答案CD
解析lg2+lg3=lg6，故A错误；
log3100=2log310，故B错误；
4log45
log34·log43=1，故D正确.
3.若a25=425(a0且a≠1)，则log
A.254 B.2 C.15
答案C
解析由a25=425，得loga4
∴loga252=25，∴2loga2
∴loga25=1
4.2723+4log
答案11
解析2723+4log43-lg5-lg2=(33)23+3-(
1.灵活应用指数幂化简常用的技巧
(1)ba?p=a
(2)a=(a1m)m，anm=(a1
(3)1的代换，如1=a-1a(a0)，1=a?12
(4)乘法公式的常见变形，如(a12+b12)(a12-b12)=
(a12±b12)2=a±2a12b
(a13±b13)(a23?a13b13
2.谨防两个易误点
(1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.
题型一指数运算
例1(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)()
A.a46=3a2
C.(62)2=36
答案ABC
解析对于A，a46=a23=
对于B，4a4=|a|=a，故
对于C，(62)2=62×
对于D，a?23=1a23
(2)计算：
664+2723+11000+
答案40
解析664+2723+11000+916?12=(26)16+
(3)若a12+a?12=3，则a2+a
答案47
解析由a12+a
两边平方得a+a-1=7，两边再平方可得a2+a-2=47.
思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1(1)2·
A.212 B.232 C.
答案C
解析2·3222132=2·
(2)计算：0.125?13-980+[
答案75
解析0.125?13-9
=123?1
=2+1+8×9=75.
题型二对数运算
例2(1)(多选)下列运算中正确的是()
A.log37log3
C.log222=-1 D.
答案BCD
解析对于A，log37log3
对于B，ln(lne)=ln1=0，故B正确；
对于C，log222=log212
对于D，23?2log23=2322log
(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，则a＝.?