第五节指数与指数函数
1.通过对有理数指数幂amn（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1.函数f（x）＝ax－3＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（）
A.（0，1） B.（0，3）
C.（3，3） D.（4，1）
解析：C对于函数f（x），令x－3＝0，可得x＝3，则f（3）＝a0＋2＝3，所以函数f（x）＝ax－3＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（3，3）.故选C.
2.已知a＝0.22，b＝30.3，c＝log40.4，则（）
A.a＜b＜c
B.b＜c＜a
C.c＜a＜b
D.c＜b＜a
解析：C因为0＜0.22＜0.20＝1，30.3＞30＝1，log40.4＜log41＝0，所以c＜a＜b，故选C.
3.函数f（x）＝1－e｜x｜的图象大致是（）
解析：A易知f（x）为偶函数，且f（x）＝1－e｜x｜≤0，A正确.
4.（2024·沈阳模拟）若?x∈[－2，0]，（12）x－2x－a≤0，则实数a的取值范围为（
A.（－∞，8] B.[8，＋∞）
C.（－∞，1] D.[1，＋∞）
解析：D因为?x∈[－2，0]，（12）x－2x－a≤0，所以a≥（（12）x－2x）min，x∈[－2，0]，显然y＝（12）x－2x在[－2，0]上单调递减，所以a≥（12）0－2×0＝1，即实数a的取值范围为[1，＋
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1）y＝ax，（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象越高，底数越大.
已知y1＝13x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（
解析：A由结论知选A.
指数式的运算
1.化简4a23b－13÷（
A.－2a3b
C.－6ab D.
解析：C4a23b－13÷（－23a－13b23）＝［4÷（－
2.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝，（2α）β＝.
答案：14
解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，（2α）β＝2αβ＝
3.（2024·宁波一模）已知f（x）＝2x＋2－x，若f（a）＝3，则f（2a）＝.
答案：7
解析：∵f（a）＝2a＋2－a＝3，∴f（2a）＝22a＋2－2a＝（2a＋2－a）2－2＝32－2＝7.
练后悟通
指数幂的运算
指数函数的图象与应用
【例1】（1）（2024·长春模拟）已知函数f（x）＝（x－a）·（x－b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax＋b的图象是（）
（2）若函数y＝｜3x－1｜在（－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为.
答案：（1）A（2）（－∞，0]
解析：（1）由图象可知，b＜－1，0＜a＜1，所以函数g（x）＝ax＋b是减函数，g（0）＝1＋b＜0，所以选项A符合.
（2）函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.由图象知，其在（－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为（－∞，0].
1.（变条件）若本例（2）条件变为：函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是.
答案：（0，1）
解析：函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同交点，则m的取值范围是（0，1）.
2.（变条件）若本例（2）条件变为：函数y＝｜3x－1｜＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是.
答案：（－∞，－1]
解析：作出函数y＝｜3x－1｜＋m的图象如图所示.由图象知m≤－1，即m∈（－∞，－1].
解题技法
指数函数的图象及其应用要点
（1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断；
（2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象；
（3）根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断.
1.（多选）已知函数y