第五节空间向量与线、面位置关系
1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系.
4.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
1.已知空间向量a＝（1，1，0），b＝（0，－1，4），则｜a＋b｜＝（）
A.15 B.15
C.17 D.17
解析：Da＋b＝（1，1，0）＋（0，－1，4）＝（1，0，4），所以｜a＋b｜＝12＋42＝
2.在△ABC中，已知AB＝（2，4，0），BC＝（－1，3，0），则∠ABC＝（）
A.π4 B.π
C.2π3
解析：Dcos＜AB，BC＞＝AB·BC｜AB｜·｜BC｜＝（2，4，0）·(-1，3，0）4+16×1+9＝－2+1225×10＝2
3.在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝（2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝（）
A.3 B.1
C.－3 D.－1
解析：C因为l∥α，所以a＝（1，2，1）与n＝（2，t，4）垂直，故a·n＝（1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3，故选C.
4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，用基底{a，b
答案：－12a－12b
解析：如图，连接A1M，A1C1，C1M＝A1M－A1C1＝A1A＋AM－（A1B1＋A1D1）＝A1A＋12（A1B1＋A1D1）
在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z＝1），O为空间任意一点.
O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝14OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，C四点共面，则实数
答案：5
解析：由结论可知14＋18＋t＝1，所以t＝
空间向量的线性运算
1.如图，三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，则NM＝（）
A.12（－a＋b＋c
B.12（a＋b－c
C.12（a－b＋c
D.12（－a－b＋c
解析：BNM＝NA＋AM＝（OA－ON）＋12AB＝OA－12OC＋12（OB－OA）＝12OA＋12OB－12
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，则实数x＋y＝（
A.－32 B.－1
C.12 D.
解析：DAP＝AD＋DD1＋D1P＝AD＋AA1＋12AB＝AD＋xAB＋yAA1，故x＝12，
3.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.用AB，AD，AA1表示OC1，则
答案：12AB＋1
解析：∵OC＝12AC＝12（AB＋AD），∴OC1＝OC＋CC1＝12（AB＋AD）＋
练后悟通
空间向量线性运算中的三个关键点
共线、共面向量定理的应用
【例1】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝13（OA＋OB＋OC）
（1）判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
（2）判断点M是否在平面ABC内.
解：（1）由题知OA＋OB＋OC＝3OM，
所以OA－OM＝（OM－OB）＋（OM－OC），
即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，所以MA，MB，MC共面.
（2）法一由（1）知，MA，MB，MC共面且过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
法二因为OM＝13（OA＋OB＋OC）＝13OA＋13OB＋13OC，又因为13＋13＋13＝1，
从而点M在平面ABC内.
解题技法
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
1.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m＋n＝.
答案：－3
解析：∵AB＝（3，－1，1），AC＝（m＋1，n－2，－2），且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AC＝λAB，即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴m+1=3λ，n－2=－λ
2.已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足OM＝15OA＋45OB＋25BC，则点M（填“∈”或“?
答案：∈
解析：OM＝15OA＋45OB＋25BC＝15OA＋45OB＋25（OC－OB）＝15OA＋25OB＋25OC，∵15＋25＋25
空间向量数量积的应用
【例2】如图，正四面体ABCD（所