第1课时基本立体图形及表面积与体积
空间几何体的结构特征
1.下列四个命题正确的是（）
A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面是长方形的直四棱柱是长方体，所有棱长均相等的长方体是正方体
解析：D对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立，故B错；对于C，若底面不是矩形，则C错；对于D，由长方体、正方体的结构特征知，D正确.
2.（多选）下列说法正确的是（）
A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B.以等腰三角形底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面所围成的几何体是圆锥
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
解析：BCD对于A，以直角梯形中垂直于底的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故A错误；对于B，以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面所围成的几何体是圆锥，B对；对于C，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，C对；对于D，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，D对.故选B、C、D.
3.一棱柱有10个顶点，其所有侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为cm.
答案：12
解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12cm.
练后悟通
辨别空间几何体的两种方法
空间几何体的表面积及侧面展开图
【例1】（1）（2021·新高考Ⅰ卷3题）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）
A.2 B.22
C.4 D.42
（2）（2023·全国甲卷11题）已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（）
A.22 B.32
C.42 D.62
答案：（1）B（2）C
解析：（1）设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，所以2π×2＝πl，解得l＝22，故选B.
（2）如图，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，取DC的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，AO，BO.由PC＝PD，得PM⊥DC，又PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以DC⊥平面POM，又OM?平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三点共线，所以OA＝OB，所以Rt△PAO≌Rt△PBO，所以PB＝PA.在△PAC中，由余弦定理，得PA＝PC2＋AC2－2PC·ACcos45°＝17，所以PB＝17.在△PBC中，由余弦定理，得cos∠PCB＝PC2＋BC2－BP22PC·BC＝
解题技法
求解几何体表面积的类型及方法
（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；
（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系；
（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.
1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）
A.122π B.12π
C.82π D.10π
解析：B由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为22.设圆柱的底面半径为r，则2r＝22，得r＝2.所以圆柱的表面积S圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π（2）2＋2π×2×22＝4π＋8π＝12π.
2.（2024·福州检测）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为.
答案：6＋2
解析：将正三棱柱ABC-A1B1C1（如图①）中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如图②所示，在图②中，连接AC1，则AF＋FC1≥AC1，因为AA1＝A1C1＝2，且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，所以AC12＝AA12＋A1C12－2AA1·A1C1·cos∠AA1C1＝4＋4－8cos150°＝8＋43，所以AC1＝8+43＝6＋2，故AF＋
空间几何体的体积
技法1直接利用公式求体积
【例2】（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为.
答案：7
解析：如图所示，设点O1，O分别为正四棱台