第一节基本立体图形及表面积与体积
1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.
1.下列命题中正确的是（）
A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
解析：DA不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥；C错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；由棱台的定义知，棱台各侧棱的延长线交于一点，D正确.
2.如图，长方体ABCD-ABCD被截去一小部分，其中EH∥AD∥FG，则剩下的几何体是（）
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱
解析：C由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱.
3.如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1-ABC1的体积为（）
A.312 B.
C.612 D.
解析：A易知三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积，又三棱锥A-B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×
4.若一个正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2，则侧棱长为.
答案：2
解析：如图，∵正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高PO＝2，∴AO＝2，∴侧棱长PA＝AO2
5.（2024·九省联考）已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是.
答案：23
解析：设圆锥底面圆半径为r，则高为3r，设球的半径为R，则2R＝3r，R＝32r，∴V圆锥V球＝13πr2·3r43π（32r）3＝23，圆锥的表面积S圆锥＝πr2＋πr·2r＝3πr2，球O的表面积
1.原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：（1）S直观图＝24S原图形；（2）S原图形＝22S直观图
2.几个与球有关的切、接常用结论
（1）设正方体的棱长为a，球的半径为R.
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2
（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
1.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OABC的面积为4，则该平面图形的面积为（）
A.2 B.42
C.82 D.22
解析：C由结论1知，S原图形＝22S直观图，得S原图形＝22×4＝82.
2.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
A.12π B.24π
C.36π D.144π
解析：C设外接球的半径为R，由结论2知2R＝3×23＝6，所以R＝3，于是表面积S＝4πR2＝36π，故选C.
3.正四面体的外接球和内切球的表面积之比是（）
A.7∶2 B.5∶2
C.3∶1 D.9∶1
解析：D由结论2知正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，所以它们的表面积之比为9∶1，故选D.