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2025年中考数学总复习《圆的拓展探究》专项检测卷(带答案)
学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
1．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】
（1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接．
①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______；
②点为的中点，的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半经为6，则的最大值是______．
2．【问题背景】
如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
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(1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________；
(2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．
3．【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径（如图）．
【推论证明】（1）已知：的三个顶点都在上，且．求证：线段是的直径．请你结合图1写出推论的证明过程．
【深入探究】（2）如图2，四边形为圆内接四边形，，，为的直径，．求的长．
【拓展应用】（3）如图3，已知为的直径，，为的弦，点为上一点，过点作于点，，连接、，
①若点为上一动点，且点不与点、重合，设，，求与的函数表达式；
②若，，求的值．
4．【问题背景】
如图，内接于，是的直径，点为优弧的中点，连接．
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【问题探究】
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，延长相交于点，求证：；
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
5．【知识技能】如图1，绕点O顺时针旋转得到，作的平分线交线段于点A，连接交于点F．
（1）求证：；
【数学理解】（2）如图2，若，以点O为圆心，长为半径作圆，求证：与相切；
【拓展探索】（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
6．小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E．交于点G．过点E，G分别作，的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．
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(1)【探究发现】如图1，
与的大小和位置关系：_________．
(2)【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】如图3，若，则
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为__________；
②在旋转过程中，的最大值是
7．综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______，______°；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．则之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点P满足，，则______．
8．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，如图，初始情况下，重合，且．
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计算：在图1中．
（1）求圆心到水面的距离；
（2）求水槽最高和最低点之间的距离；
探究：将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，当时停止滚动，如图．
（）在图中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离．
拓展：在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积．
（参考数据：，，）
9．【问题背景】定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．
例如：如图1，，，是公共边，则与是邻等三角形．
(1)【探究发现】如图2，