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2025年中考数学总复习《探索规律题》专项检测卷(带答案)
学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
1．探索规律．
乐乐在计算：、、??这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”：
①
②
③
(1)图④的涂色部分表示，这个涂色部分可以转化成长是________，宽是________的长方形．
(2)根据以上规律计算：________=________
(3)根据以上规律计算并写出过程：
2．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，．
∵，
∴数据3，4，5是勾股数．
对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明：
∵，
∴，
∴①．（填“”或“”）
∵，
∴．
∵②③，④，
∴，
∴为勾股数．
(1)请补全横线上所缺的内容．
(2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值．
3．数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结．
【观察与思考】观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题．
（1）请直接写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明；
【实践与应用】直接写出下列式子的结果．
（3）__________．
4．综合与实践：
小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)的长为_________；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，）
5．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)【问题发现】如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边，小明认为有最小值，那么的最小值是__________．
(2)【问题探究】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由．
(3)【问题解决】如图3，在四边形中，，求四边形面积的最大值．
6．数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律．
观察归纳：
；；．
；；．
；；．
；；．
…
规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除．
规律应用：
(1)请用上述方法验证266能否被7整除．
(2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容：
x
x的表示
按（2）中操作得到的差，记为M（x）
217
????
945
______
______
…
…
…
(3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除．
7．将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表．
(1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______．
(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由．
(3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由．
8．【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是；图2中，第个正方形数是（请用含的式子表示）．
【猜想验证】
（2