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2025天津高考数学压轴20题
多维解析及出题背景
【试题呈现】
（天津卷第20题）
已知函数.
（Ⅰ）时，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）有3个零点，，，且.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明.
【多维解析】
（Ⅰ）第1步：求切点
时，，，故切点为
第2步：求斜率，得切线方程
，，
在点处的切线方程为：，即：
（Ⅱ）（ⅰ）（解法1：分离参数，转化为函数交点个数问题）
理解题意：“有3个零点，，，且”，可转化为有三个不等实根，进而通过研究函数的值域来确定的取值范围；
第1步：转化问题
因为，原问题可转化为：方程有三个不等实根，，，且；令，则问题转化为：直线与函数图像有三个不同的交点；
第2步：求导，并研究单调性
，
令，得：，.
则或，解得：或
当时，，，所以，在上单调递减；
当时，，，所以，在上单调递增；
当时，，，所以，在上单调递减；
第3步：求的极值与极限
由单调性可知，的极小值，的极大值
当时，，，，所以
当时，
第4步：确定的范围
因为直线与函数图像有三个不同的交点，结合单调性、极值、极限，可知：且.
（解法2：换元后直接求解）
第1步：换元
设，则方程可化为：，即：
设函数，则，“函数有3个零点，，”等价于“有3个零点，，”；
第2步：求导，并研究单调性
当时，，所以，在上单调递减；
当时，，所以，在上单调递增；
当时，，所以，在上单调递减；
第3步：求的极值与极限
极小值为，极大值为
当时，，，所以
当时，，所以
第4步：确定的范围
结合单调性、极值、极限，可知：，即：.
（Ⅱ）（ⅱ）第1步：从结论出发
要证，
即证：，即：
即证：
第2步：从条件出发
由（ⅰ）可知：，且，则，
又，则，
即：
则
由（ⅰ）可知：，，则；
由基本事实，得：，即：；
则；
令，又，则，，
则，解得：，则（其中）
则（其中）
第3步：结合“第1步、第2步”进一步分析
在“第1步”中，将题目要证明的问题等价转换为：
证明：
在“第2步”中，我们得到：
以及（其中）
我们可以得到：
【解题思考】至此，我们想：如果能证明出（其中），命题“”就得证了.
第4步：证明（其中）
即证（其中）
令，则，
又，则，在单调递减；
则，即：，命题得证.
【得分保障】
本题第Ⅰ问求在点处的切线方程，属于常规题型，属于压轴题中的基础设问，是我们大多数考生可以得分的小问。在第Ⅱ问中的第ⅰ小问，常见的有两种解题策略：一是，分离参数，转化为函数交点个数问题；二是，换元后直接求解。第二种解法的优点在于：换元后新函数的导数不含有，巧妙避开了分类谈论。
第Ⅱ问中的第ⅱ小问，是天津卷的压轴所在，但考生也可以用“逐步分析”的方法——从结论出发倒推我们要证明什么，从条件出发往要证明的等价命题上面去靠，这种“两边向中间”的证明题分析方法，是打开数学证明题难题的一种思路。
【出题背景】
本题是基于常见的函数、以及不等式（其中）通过“演绎深化”、“逆向推演”命制而成。
类似的不等式，还有很多，如：、、、等