广东中山第一中学2025届高考冲刺模拟考（5月第二次测试）
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则（）
A. B. C. D.
3.若随机变量服从正态分布，若，则（）
A. B.
C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，，则等于（）
A. B.12 C.13 D.26
5.点到直线：和：的距离之积为4，记的轨迹为曲线，则（）
A.是两条互相垂直的直线
B.是焦点在轴上的双曲线
C.是两条离心率均为双曲线
D.上的点与原点之间的距离不小于
6.若函数图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值为（）
A. B. C. D.
7.已知圆柱和圆台的高和体积都相等，若圆柱的底面圆半径为，圆台的上、下底面圆半径分别为，，则（）
A. B. C. D.
8.已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是（）
A B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数和在复平面内对应点和，且满足，，则（）
A. B. C. D.
10.在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（）
A.平面 B.∥平面
C.平面平面 D.平面∥平面
11.已知定义在上的函数，且，若，则（）
A. B.偶函数
C.是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.的展开式中，的系数为______．（用数字作答）
13.设集合，，从中取两个数按从小到大排成一个两位数，从中取两个数按从小到大排成一个两位数，则的概率为______．
14.在中，若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.2024年7月26日至8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，中国体育健儿们在赛场上奋力拼搏，取得骄人战绩．为了弘扬“更快、更高、更强、更团结”奥运精神，以及中国运动员们展现的“和谐、包容、坚忍不拔”——中国传统文化的精髓，某校举办奥运知识竞赛．比赛的题目包括“奥运会历史”“中国历届奥运成绩”两个板块，每个板块4个题目，每位参加比赛的同学首先从“奥运会历史”板块中随机抽取2题依次回答，然后从“中国历届奥运成绩”板块中随机抽取2题依次回答，至少答对3题者获得奖品一份．已知甲同学能正确回答“奥运会历史”板块中的2题，能正确回答“中国历届奥运成绩”板块中每题的概率为0.8，且回答每题相互独立．
（1）记为甲答对题数，求的分布列；
（2）已知甲获得一份奖品，求甲4题全部答对的概率．
16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，为上一点，为的中点，且平面．
（1）求证：；
（2）若平面，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
17.已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意都有，求实数的取值范围．
18.已知和为椭圆：上两点．
（1）求的焦距；
（2），，是上三点．
①若平行于轴，且是正三角形，求的长；
②若的重心为坐标原点，求的面积．
19.设为不小于2的正整数，集合，对集合中任意两个元素和，记，其中.
（1）设，，求和的值；
（2）从集合中随机取一个元素，求为偶数的概率；
（3）设，从集合中任取两个元素和，，求集合的元素个数最大值（用表示）．