2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学冲刺卷
本试卷共150分考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简即可.
【详解】.
故选：C.
2.若，则（）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式化简结合二倍角公式转换即可得所求.
【详解】.
故选：A.
3.已知集合，集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合中的元素确定集合的关系，结合集合的运算性质，逐项判断即可得答案.
【详解】因为集合，集合，
所以，则，故A，B，D项错误，C项正确.
故选：C.
4.已知向量，且与夹角为，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量夹角的坐标运算公式计算即得.
【详解】由，
解得或（因，故舍去）
故选：D.
5.若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将已知等式配方可得式子的最值即可的值，结合对数函数与指数函数的性质逐项判断即可.
【详解】，
等号成立，
.
故选：D.
6.如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角得余弦值即可.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，
故异面直线和夹角的余弦值为.
故选：B.
7.暑假期间，甲?乙?丙?丁四名大学生到某科研单位的第一?二?三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件概率的公式和性质计算即可.
【详解】记事件为“甲在第一科室实习”，事件为“甲与乙不在同一科室实习”，
样本点的总数为，，
事件同时发生的情况种数为，
∴，.
.
故选：C.
8.如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（）
A.12 B.8 C.6 D.7
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线的方程，设，根据直线斜率的坐标关系可得，所以，作轴于点，确定的值，从而可得四边形的面积.
【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为，
因为四边形为梯形，且，
设，则，
所以，所以，
作轴于点，则，
因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，
故，
所以，
所以四边形的面积为.
故选：D.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（）
A.
B.增加两个样本点后的平均数为1.2
C.
D.在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用经验回归方程，结合样本中心点求出参数，进而进行数据估计.
【详解】对于A，由过点，得，解得，A正确；
对于B，增加两个样本点后的平均数为，B正确；
对于C，增加两个样本点后的平均数为，则，解得，C错误；
对于D，新的经验回归方程为，当时，，D正确.
故选：ABD
10.如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（）
A.长半轴长为 B.短半轴长为
C.焦距为4 D.离心率为
【答案】AD
【解析】
【分析】结合不等式及轨迹方程求得，根据椭圆长轴短轴的集合意义求得的值，从而得椭圆的焦距与离心率，逐项判断即可得答案.
【详解】，
，解得.
该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值，
短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值，
椭圆的焦距为，
椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误.
故选：AD.
11.已知函数，且，则下列结论正确的有（）