2025年普通高等学校招生全国统一考试预测卷
数学
（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，，则（）
A. B.
C. D.
2若，则（）
A. B. C. D.
3.在正方形中，，分别为，的中点，若，则（）
A. B. C. D.
4.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（）
A. B. C. D.
5.已知函数满足：当时，的最小值为，且，则函数在区间内的零点个数为（）
A.4 B.5 C.6 D.7
6.某省高速公路实行智能化管理，其主线收费站的车流量由智能控制系统操控.经统计分析知，某收费站一天中通过的车辆数与时间拟合的函数关系为若不计其他因素，车流速度与的自动控制系统方程为（为常速），则下列说法错误的是（）
A.当时，该时刻通过的车辆数最少
B.和是一天中车辆通过的两个极大峰值时刻
C.当时，自动控制系统方程为
D.当时，自动控制系统方程
7.已知，，则（）
A. B. C. D.
8.已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一批乒乓球出厂的次品率为，乒乓球出厂时，要求检验员不放回地抽取两次，每次抽取一个，贴上验收标签.记“第一次抽到的乒乓球检测为次品”为事件，“第二次抽到的乒乓球检测为次品”为事件，则下列说法正确的有（）
A. B. C. D.
10.如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（）
A.
B.若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上
C.在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为
D.过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则
11.已知函数，，则下列说法正确的有（）
A.当时，函数不存在极值点
B.对于任意的，函数都存在平行于直线的切线
C.当时，函数有且仅有一个极值点
D.当时，对于任意的，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某建筑工地的工人师傅要浇筑椭球形钢筋水泥柱，其模具横断面的椭圆方程为，椭圆及其内部的点称为“整点”，是嵌入钢筋的位置标记.浇筑水泥时，任意两个整点之间的钢筋需用铁丝绑扎固定，形成网状结构.现任抽两个整点检测是否扎紧，则抽到的两个整点之间的距离大于的概率为______.
13.已知数列前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则______.
14.已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.记的内角的对边分别为，已知.
（1）求的最大值；
（2）若，求.
16.如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若异面直线和垂直，求二面角的正弦值.
17.甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立.
（1）当时，求；
（2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；
（3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望.
18.已知抛物线与相交于，两点，其交点的横坐标分别为，.在抛物线上另取个点，，…，，在抛物线上另取个点，，…，，使.记，的横坐标分别为，.
（1）求，及值.
（2