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2025年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（八）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集运算求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
2.若，则（）
A.1 B. C. D.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算及模的定义求解.
【详解】因为，
所以，
故选：A
3.设双曲线与的离心率分别为，若，则（）
A. B. C.1 D.2
【答案】B
【解析】
【分析】分别求双曲线与的离心率，结合，列出方程，即可求解.
【详解】双曲线的离心率为，
双曲线离心率为，
因为，
所以，
解得，即.
故选：B.
4.已知非零向量满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】由，得，则，而，
因此，又，
所以.
故选：B
5.已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（）
A.1 B. C. D.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.
【详解】连接，则，
而的最小值为点C到直线l的距离，
所以.
故选：A.
6.函数在区间的极大值点的数目为（）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用正弦函数的性质可分析出函数极大值点的个数.
【详解】，
因为，故由正弦函数性质知，时，，，函数递增，
当时，，，函数递减，为函数的一个极大值点，
所以时，函数有1个极大值点；
由正弦函数的周期性，可知在上，函数有5个极大值点，
故选：C
7.已知三台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数目之比为，现任取一个零件，记事件“零件由第1台车床加工”，“零件为次品”，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式、条件概率公式列式求解.
【详解】记事件“零件由第台车床加工”，则，
，
由全概率公式得：
，
故.
故选：D
8.设直线分别交曲线与曲线于两点，若点在上，满足为等边三角形，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出点坐标，代入函数解析式求解.
【详解】由得，即，由得，即，
所以，为等边三角形，如图，则，
所以，解得，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.样本数据0，2，3，，，7的平均数为3，方差为，中位数为，则（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平均数计算可判断A；根据基本不等式化简计算可判断B；由方差计算公式列式化简即可判断C，根据中位数计算公式分类讨论即可判断D.
【详解】对于A，由题意可知，解得，故A正确；
对于B，因，所以，
当时，有，当且仅当时等号成立，
所以，故B错误；
对于C，方差，
由可知，当时，，此时，
当时，，此时，
综上所诉，，故C正确；
对于D，当时，样本数据的中位数，
当时，设，由可知，，
按照从小到大的顺序排列，中间两个数可以是或，
此时中位数，综上所述，中位数，故D正确.
故选：ACD
10.如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至点，得到四棱锥为的中点，则（）
A.平面
B.的长为定值
C.四棱锥体积的最大值为
D.直线与平面所成角的最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】取中点，连接，利用线面平行的判定推理判断AB；求出点到平面距离的最大值，结合锥体体积及线面角的求法判断CD.
【详解】对于A，取中点，连接，由是的中点，得，
，则四边形为平行四边形，，平面，
平面，因此平面，A正确；
对于B，由选项A知，，B正确；
对于C，点到直线的距离为斜边上的高，则，
四边形的面积，当平面平面时，
点到平面的距离最大为，四棱锥体积的最大值，C错误；
对于D，，则直线与平面所成角等于与平面所成角，