高级中学名校试卷
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江西省上饶市2025届高三第一次高考模拟考试数学试卷
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题设，则.
故选：D
2.设，，其中为虚数单位.则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，
若，则，即，解得或，
所以由推不出，故充分性不成立；
由推得出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3.已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（）
A.3 B. C.1 D.
【答案】D
【解析】由题设，可得，
由.
故选：D
4.设，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，
当时，，所以由得；
当时，，所以由得，无解.
综上，.
故选：C.
5.已知向量满足，且，则与的夹角等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，则，
，即，
，解得，又，
所以与的夹角为.
故选：D.
6.函数的值域是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
令，，此时函数变为.
对于二次函数，其对称轴为.
当时，.
当时，.
所以在上的值域是.
故选：A.
7.如图，长方体中，，点为平面上一动点，若，则点的轨迹为（）
A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.圆
【答案】C
【解析】如图，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，.
由题可设，则向量，向量，
所以，即.
将上式两边同时平方可得，即.
则，即.
所以.故轨迹为双曲线的一支.
故选：C.
8.表示数集中最小的数.已知，且，则的最大值为（）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】由已知可得，得则，
又由，所以，解得：
故选：C.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9.下列结论正确的是（）
A.数据的第70百分位数是23.
B.随机变量X服从二项分布，则
C.一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60.
D.随机变量X服从正态分布，且，则
【答案】BC
【解析】对选项A：数据共10个数，
从小到大排列为，由于，
故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，
所以第70百分位数是23.5，故A错误；
对选项B：.故B正确；
对选项C：由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，故C正确；
对选项D：服从正态分布，
所以，故D错误.
故选：BC.
10.除数函数的函数值等于的正因数的个数，例如.若则下列选项中正确的是（）
A.
B.
C.若，则的最小值为1011
D.若，则
【答案】ABD
【解析】对选项A：由，即个2和个3的乘积，由分步计数原理可得.所以，所以A正确.
对选项B：同理，即个2的乘积，所以.所以B正确.
对选项C：又由，即个3的乘积，所以.若，则的最小值为1012，所以C不正确.
对选项D：又，所以D正确.
故选：ABD
11.已知函数，则下列说法中正确的是（）
A.的图象关于原点对称
B.的值域为
C.当时，恒成立
D.若在区间上有2024个不同的实数根，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】对选项A：因为
所以A正确；
对选项B：设，则可表为，
因为，
故为上的奇函数，而时，均为增函数，
故为上的增函数，而为上的增函数，
故为上的增函数，故为上的增函数，
因为增函数，所以，
所以的值域为，所以B不正确；
对选项C：设，
则（不恒为零），
所以hx在0,+∞上递减，所以即，所以C正确；
对选项D：因为，
所以关于对称，又的图象关于原点对称，
故是周期函数且周期，而，
所以在上递增，可作出草图，如下图
设，则，该方程两根满足，
显然均不为0且最多仅有一个属于，
不妨设,
若时，方程在区间[上有1013个实数根；
若时，方程在区间[上有2026个实数根；
若时，在区间上有2024个实数根；
若时，方程在区间上有1012个实数根；
所以方程在区间仅有一根，
所以，
所以，所以D不正确.
故选：AC.
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则__________.
【答案】
【解析】，，又，
.
故答案为：.
13.如图，已知正方体的棱长为4，点是的侧面上的一个动点，当点到点的距离相