课后习题(三十)正弦定理、余弦定理
1．B[∵c2＝a2＋b2－3ab，∴a2＋b2－c2＝3ab，由余弦定理的推论得cosC＝a2+b
又∵0°C180°，∴C＝30°．]
2．D[对于A，已知两角及其中一角的对边，三角形确定，只有一解；对于B，已知两边及其夹角，用余弦定理，只有一解；对于C，已知两边及其中一边的对角，且已知的是两边中较大边所对的角，所以不可能有两解；对于D，bsinA＝16sin45°＝82ab，有两解．故选D．]
3．π6[由正弦定理，得sinC＝csinBb＝2sin2π36＝12，所以C＝π6或C＝5π6，因为B＝2π
4．解：令asinA＝
a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC．
代入已知条件，得sinAcosA＝sin
即tanA＝tanB＝tanC．
又因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C．
故△ABC为等边三角形．
5．D[因为在△ABC中，BC＝3，AC＝5，C＝2π3
所以由余弦定理可得
AB＝AC
＝52+3
故选D．]
6．D[因为a＝3，b＝1，B＝π6
由正弦定理asinA＝
即sinA＝asinBb＝3sinπ6＝32，因为0＜A＜π，所以A
因为a＞b，故A＞B，
即两解均符合题意．故选D．]
7．C[由正弦定理asinA＝bsinB，得2312＝
因为a＜b，所以A＜B．
又因为B∈(0，π)，所以B＝π3或B＝2
故此三角形有两解．
故选C．]
8．A[因为B＝2π3，b＝6，a2＋c2＝3ac
所以由余弦定理可得36＝a2＋c2－2ac×-12＝a2＋c2＋ac＝3ac＋ac＝4
所以ac＝9，
则△ABC的面积S＝12acsinB＝12×9×32＝934
9．BCD[因为sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶4，
设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0．
A中，可得(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5k∶7k∶6k＝5∶7∶6，所以A不正确；
B中，可得C为最大角，由余弦定理的推论可得cosC＝a2+b2-c2
可得角C为钝角，所以该三角形为钝角三角形，所以B正确；
C中，因为a＋b＋c＝18，又a∶b∶c＝2∶3∶4，可得a＝4，b＝6，c＝8，
由B选项的分析，可得sinC＝154
所以S△ABC＝12absinC＝12×4×6×154＝315
D中，由正弦定理可得csinC＝2R，可得R＝12
则S△ABC＝12absinC＝12(a＋b＋c)r＝12(2k＋3k＋4k
即12·2k·3k·154＝9
可得r＝15k6，所以5R＝815k3，16r＝815k3，即
故选BCD．]
10．4211[在△ABC中，A＝120°，且AB＝3，AC＝5
由余弦定理得BC2＝9＋25－2×3×5×-12＝49，即BC＝
则cosB＝9+49-252×3×7＝3342＝
又cosB＝ABBD，所以BD＝4211
11．π326[因为a＝bcosC＋33
所以sinA＝sinBcosC＋33sinCsinB
所以sin(B＋C)＝sinBcosC＋33sinCsinB
即cosBsinC＝33sinCsinB
因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以tanB＝3，
又B∈(0，π)，所以B＝π3
由S△ABC＝23，可得12acsinB＝23，则ac＝8
又a＋c＝52，则由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac＝26，
解得b＝26．]
12．解：(1)因为2a＝2ccosB＋b，由余弦定理可得2a＝2c·a2+c
整理可得a2＋b2－c2＝ab．
由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2abcosC，
所以cosC＝12
又C∈(0，π)，
所以角C为π3
(2)因为c＝7，a＋b＝5，由(1)可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，
即7＝25－3ab，解得ab＝6，
所以S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝