第6课时空间向量的运算及其应用
[考试要求]1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
1．空间向量及其有关定理
概念
语言描述
共线向量
(平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________
共面向量
平行于____________的向量
共线向量
定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b?存在实数λ，使_______
共面向量
定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________
空间向量
基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_______________
2．空间向量的数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝_________________________．
3．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝__________________
共线
a∥b?a＝λb?a1＝_____，a2＝_____，a3＝_____(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b?a·b＝0?__________________＝0(a≠0，b≠0)
模
|a|＝a·a＝_
夹角公式
cos〈a，b〉＝a·b
4．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a______的非零向量称为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
5．空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2，λ∈R
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm，λ∈R
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n＝λm，λ∈R
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
[常用结论]
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线?OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点?AB＝λBC(λ≠0)．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面?OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面． ()
(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．()
(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c． ()
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． ()
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对
2．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AC1＝xAB1＋yAC＋zAD1，则
A．3B．2C．32
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P22练习T3改编)已知点A(1，2，2)，B(1，－3，1)，点C在Oyz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为()
A．(0，1，－1) B．(0，－1，4)
C．(0，1，－6) D．(0，2，10)
4．(人教A版选择性必修第一册P27思考改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝34OA+18OB＋tOC，若P，A，
考点一空间向量的线性运算
[典例1](1)设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y＝()
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2025·广东广州模拟)如图，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝23OA，N为BC的中点，则
A．12a＋12b－12c B．－23a＋1
C．23a＋23b－12c D．－23a＋2
[听课记