必刷小题16圆锥曲线
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.椭圆C：x280+
A.5 B.25 C.26 D.36
答案B
解析由题得a2=80，b2=35，
所以a=45，c=a2?b
所以长轴长2a=85，焦距2c=65，
所以长轴长与焦距之差等于2a-2c=25.
2.已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率e3
A.(0，1) B.0
C.(1，+∞) D.2
答案D
解析由题意可知b2=1，c2=a2+1，
所以e2=a2+1a2，所以1a2
所以a22
3.(2024·湛江模拟)已知点M为双曲线C：x24-y25=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2
A.2 B.4 C.6 D.8
答案A
解析由于M为双曲线C：x24-y25=1的左支上一点，F1，F
所以|MF2|-|MF1|=2a，
故|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a，
由于a=2，b=5，c=a2+
所以|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a=6-4=2.
4.(2025·西安模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-1，0)，且椭圆
A.x29+y28=1 B.
C.x28+y27=1 D.
答案A
解析因为椭圆C的左焦点为F(-1，0)，所以c=1.
又因为椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为62，
所以12×2a×b=ab=62
结合a2=b2+c2=b2+1，ab0，
可得a=3，b=22，
故椭圆C的方程为x29+
5.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，|OP|=43，则|PF|等于()
A.4 B.6 C.8 D.10
答案B
解析抛物线C：x2=8y的焦点为F(0，2)，准线方程为y=-2，设P(m，n)(n0)，则m2=8n,m2+n2=43,
6.(2024·邢台统考)某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(-4，7)和B3，?14
A.12 B.22 C.32
答案D
解析设曲线C的方程为mx2+ny2=1，
代入点A(-4，7)得16m+7n=1，①
代入点B3，?142得9m+72
联立①②解得m=12，n=-1
所以曲线C为双曲线，其方程为x22-y2
a2=2，b2=1，
故离心率e=1+ba2=1+
7.(2024·黔南模拟)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，过焦点F作圆x2+y2=b2的一条切线l，与椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且
A.53 B.33 C.63
答案A
解析由题意可知，圆x2+y2=b2的圆心为点O，半径为b，cb，
设椭圆E的右焦点为F2，连接AF2，如图，
因为点Q为AF的中点，且点O为FF2的中点，
则OQ∥AF2，|AF2|=2|OQ|=2b，
由椭圆定义可知|AF|=2a-|AF2|=2a-2b，
因为Q为切点，可知OQ⊥AF，则AF2⊥AF，
可得AF2|2+|AF|
即4b2+(2a-2b)2=4c2=4(a2-b2)，
解得2a=3b，即ba=2
所以椭圆E的离心率e=ca=1?ba
8.已知A，B是圆C：x2+y2-8x-2y+16=0上两点，点P在抛物线x2=2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|等于()
A.455 B.355 C.
答案A
解析依题意可得，当PA，PB是圆C的切线时，∠APB取得最大值，即A，B是圆C的切点，设∠APB=2α，Px0
∵圆C：x2+y2-8x-2y+16=0，
∴圆心C(4，1)，半径为1，
从而sinα=1|PC|
∵|PC|2=(x0?4)2+x02
令f(x)=x44-8x
则f(x)=x3-8，
∴当x2时，f(x)0，
即函数f(x)在(-∞，2)上单调递减；
当x2时，f(x)0，
即函数f(x)在(2，+∞)上单调递增，
∴f(x)min=f(2)=5，即|PC|min=5，
∴(sinα)max=55，此时∠APB
∴|AB|=2|AC|cosα=2cosα=45
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·长沙模拟)已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，则下列说法正确的是()
A.抛物线C的焦点坐标是(-1，0)
B.抛物线C关于y轴对称
C.抛物线C的准线方程为x=1
D.抛物线C的焦点到准线的距离为4
答案AC
解析因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，所以抛物线C的方程为y2=-4x，
则抛物线C的焦点坐标是(-1，0)，准线方程为x=1，故A，C正确；
抛物线C关于x轴对称，故B错误；
抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D