§8.1直线的方程
课标要求1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).
1.直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量.
2.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.
3.直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.(α≠90°)?
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k=y2
4.直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不含直线x=x0
斜截式
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y?y
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x=x1和直线y=y1
截距式
xa+y
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.(√)
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.(×)
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(×)
(4)截距一定是正数.(×)
2.直线3x-y+2025=0的倾斜角是()
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案C
解析根据题意，设直线3x-y+2025=0的倾斜角为α，
因为其斜率k=tanα=3，
又由0°≤α180°，所以α=60°.
3.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.?
答案3x-2y=0或x+y-5=0
解析当截距为0时，直线方程为3x-2y=0；
当截距不为0时，设直线方程为xa+ya
则2a+3a
解得a=5，直线方程为x+y-5=0.
所以直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
4.直线x+(m+1)y+m=0(m∈R)所过的定点坐标为.?
答案(1，-1)
解析直线x+(m+1)y+m=0(m∈R)可以化为m(y+1)+y+x=0，
令y+1=0,y+x=0,解得x=1,
1.倾斜角与斜率的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.
(2)当直线l的倾斜角α∈0，π2时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈π2，
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，与x轴垂直的直线的倾斜角为π2
2.直线的方向向量
当直线的斜率k存在时，直线的方向向量为(1，k).
3.谨记以下两个关键点
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
(2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=kx+b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x=ty+b.
题型一直线的倾斜角与斜率
例1(1)(多选)已知直线l：3x+y-2=0，则下列选项中正确的有()
A.直线l的斜率为-3
B.直线l的倾斜角为5π
C.直线l不经过第四象限
D.直线l的一个方向向量为v=(-3，3)
答案AD
解析由l：3x+y-2=0，可得y=-3x+2，故其斜率为k=-3，倾斜角为2π3，故A项正确，B
由直线y=-3x+2知其斜率k0，纵截距b=20，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误；
取直线l上两点A(0，2)，B(3，-1)，可得BA=(-3，3)，即直线l的一个方向向量为v=(-3，3)，故D项正确.
(2)若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是，直线l的倾斜角的取值范围是.?
答案(-∞，-3]∪[1，+∞)π
解析如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1=3?00?1=-3；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2=1?02?1=1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(-∞，-3]∪[1，+
方法一设直线l的倾斜角为α，所以tanα∈(-∞，-3]∪[1，+∞)，且α∈[0，π)，
所以α的取值范围是π4
方法二因为k1=-3，k2=1，
所以直线PA，PB的倾斜角分别为π4，2π
由图可知，直线l的倾斜角的取值范围是π4
思维升华直线倾斜角的范围是[0，