球的切、接问题
球的切、接问题是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般以客观题的形式出现.
几种常见的球的切、接模型
1.正方体与球
（1）内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a；
（2）棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长2a；
（3）外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长3a.
2.长方体的外接球
外接球直径2R＝体对角线长a2＋b2＋c2（
3.正棱锥与球
（1）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝（h－R）2＋r2（正棱锥外接球半径为R，高为h）；
（2）内切球：V正棱锥＝13S表·r＝13S底·h（等体积法），r是内切球半径，h
4.正四面体与球
（1）外接球：如图，设正四面体ABCD的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R＝22a·32＝64a，即正四面体外接球半径为R
（2）内切球：设正四面体内切球半径为r，外接球半径为R，则Rr＝3，即r＝612
5.直棱柱（圆柱）的外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上、下底面可以是任意三角形）.
（1）确定球心O的位置，球心O在三棱柱上下底面外接圆圆心连线段O1O2的中点处；
（2）求外接球半径R，设三棱柱下底面外接圆半径为r，三棱柱的高为h，由图可知OO1⊥平面ABC.在Rt△AO1O中，OA＝R，AO1＝r，OO1＝h2，所以R＝r
6.圆锥的外接球
如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来计算R.如图2，当PC＞CB时，球心在圆锥内部；如图3，当PC＜CB时，球心在圆锥外部.由图2、图3可知，OC＝h－R或R－h，故（h－R）2＋r2＝R2，所以R＝h2
一、空间几何体的外接球
角度1定义法
（1）（2022·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（A）
A.100π B.128π
C.144π D.192π
（2）
已知菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为823π
解析：（1）由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO12＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO22＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4π
（2）由题意可得△ACD，△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD，△PCD为两个全等的等腰三角形，则三棱锥P-ACD的表面积S＝2S△ACD＋2S△PCD＝2×12×2×2×32＋2×12×2×2×sin∠PCD＝23＋4sin∠PCD≤23＋4，当且仅当sin∠PCD＝1，即PC⊥CD时，三棱锥P-ACD的表面积取最大值，此时△PAD，△PCD为直角三角形，PD＝PC2＋CD2＝22.如图，取PD的中点O，连接OA，OC，由直角三角形的性质可得OA＝OC＝OD＝OP＝2，即三棱锥P-ACD的外接球的球心为O，半径R＝2，故外接球的体积为V＝43
规律方法
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可.
角度2补形法
（1）已知在三棱锥P-ABC中，AC＝2，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为（A）
A.4π3 B
C.32π3 D.4
（2）已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB＝CD＝1，AD＝BC＝3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2，则AC＝5
解析：（1）AB＝AC2＋BC2＝3，设PB＝h，则由PA＝2PB，可得3+h2＝2h，解得h＝1，可将三棱锥P-ABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R＝12＋（2）2＋12＝2，
解析：（2）根据题意可将三棱锥A-BCD放置于长方体中，如图，∵三棱锥A-BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个，∴长方体的外接球就是三棱锥A-BCD的