泰勒展开式在比较大小中的应用
1.泰勒公式(人A必修一P256复习参考题26题)
若函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内有n+1阶导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x-x0的多项式和一个余项的和:f(x)=f(x0)+f(x0)·(x-x0)+f″(x0)2!·(x-x0)2+f?(x0)3!·(x-x0)3+…+f
2.常见的泰勒展开式
(1)ex=1+x1!+x2
(2)sinx=x-x33!+x
(3)cosx=1-x22!+x
(4)11-x=1+x+x2+
(5)11+x=1-x+x2-x
(6)ln(1+x)=x-x22+x3
(7)(1+x)a=1+a1!x+a(a-1)
泰勒展开式将各种类型的复杂函数和多项式函数建立了联系,通过泰勒展开式可以用多项式函数近似代替其他复杂函数,可用于比较大小等问题的求解.
(1)(2022·新高考Ⅰ卷7题)设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则(C)
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.a<c<b
解析:(1)a=0.1e0.1≈0.1×(1+0.1+0.012)=0.1105,b=19≈0.1111,c=-ln0.9=ln109=ln(1+19)≈19-(19)22≈0.104
(2)(2022·全国甲卷理12题)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则(
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
解析:(2)设x=0.25,则a=3132=1-0.2522,b=cos14≈1-0.2522+0.2544!,c=4sin14
规律方法
利用泰勒展开式近似计算解决比较大小等问题时可以提高解题速度,其难点是如何利用数字特征构造对应的函数,但也不一定非要利用泰勒展开式才能够解题,泰勒展开式只是比较大小的一种比较快捷的方法,在平时还是要侧重通性通法的培养.
1.(2025·衡阳一模)已知a=e0.02,b=1.02,c=ln2.02,则()
A.c>a>b B.a>b>c
C.a>c>b D.b>a>c
解析:B法一(构造函数)令f(x)=ex-(1+x),令f(x)=ex-1=0,得x=0,当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x∈(0,+∞)时,f(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(0.02)>f(0)=0,从而e0.02>1+0.02=1.02>1>ln2.02.故选B.
法二(泰勒公式)设x=0.02,则a=e0.02=1+0.02+0.0222+…,显然a>b>1>
2.(2025·长春模拟)已知a=e0.1-1,b=sin0.1,c=ln1.1,则()
A.a<b<c B.b<c<a
C.c<a<b D.c<b<a
解析:D设x=0.1,则a=e0.1-1=0.1+0.122+…,b=sin0.1=0.1-0.136+…,c=ln1.1=0.1-0.122+