指、对同构
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的是同一函数），无疑会大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换.
几种常见变形：xex＝ex＋lnx；exx＝ex－lnx；xex＝elnx－x；x＋lnx＝ln（xex）；x－lnx
一、指、对同构的理解
（1）（2025·扬州模拟）若2a＋log2a＜22b＋log2b＋1，则（B）
A.ln（2b－a＋1）＜0
B.ln（2b－a＋1）＞0
C.ln｜a－2b｜＞0
D.ln｜a－2b｜＜0
解析：（1）对已知不等式变形可得：2a＋log2a＜22b＋log22b.令f（x）＝2x＋log2x，x＞0.易知函数y＝2x与y＝log2x在（0，＋∞）上均单调递增，所以函数f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上为增函数.2a＋log2a＜22b＋log22b即f（a）＜f（2b），根据函数f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上为增函数，可得2b＞a＞0，则2b－a＞0.所以2b－a＋1＞1，则ln（2b－a＋1）＞ln1＝0，A错，B对.无法确定｜a－2b｜与1的大小，故无法确定ln｜a－2b｜与0的大小，C、D都错.故选B.
（2）若关于a的方程aea－2＝e4和关于b的方程b（lnb－2）＝e3λ－1（a，b∈R＋）可化为同构方程，则ab的值为（A）
A.e8 B.e
C.ln6 D.1
解析：（2）对aea－2＝e4两边取自然对数，得lna＋a＝6①，对b（lnb－2）＝e3λ－1两边取自然对数，得lnb＋ln（lnb－2）＝3λ－1，即lnb－2＋ln（lnb－2）＝3λ－3②，因为方程①②为两个同构方程，所以3λ－3＝6，解得λ＝3，设F（x）＝lnx＋x，x＞0，则F（x）＝1x＋1＞0，所以F（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以方程F（x）＝6的解只有一个，所以a＝lnb－2，所以ab＝b（lnb－2）＝e3×3－1＝e8
规律方法
利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
二、和、差型同构
（1）已知x＞0，y＞0，且ex＋lny＞x＋y，则下列选项正确的是（B）
A.x＞y B.x＞lny
C.x＜y D.x＜lny
解析：原不等式等价于ex－x＞y－lny，等价于ex－lnex＞y－lny.令g（x）＝x－lnx，则不等式ex－lnex＞y－lny，等价于g（ex）＞g（y），因为g（x）＝x－1x，所以当x∈（1，＋∞）时，g（x）＝x－1x＞0，所以g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，因为x＞0，所以ex＞1.若y∈（1，＋∞），由g（ex）＞g（y），有ex＞y，若y∈（0，1]，恒有ex＞y.综上所述，ex＞y，即x＞ln
（2）已知函数f（x）＝aex－1－lnx＋lna，若f（x）≥1，试求实数a的取值范围.
解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f（x）＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1，
等价于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.
令g（x）＝ex＋x，上述不等式等价于g（lna＋x－1）≥g（lnx）.
显然g（x）为增函数，则不等式等价于lna＋x－1≥lnx，
即lna≥lnx－x＋1.
令h（x）＝lnx－x＋1，则h（x）＝1x－1＝1
当x∈（0，1）时，h（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，h（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝0，所以lna≥0，
即a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞）.
规律方法
和、差型ea±a＞b±lnb的两种同构方式
（1）同左构造：ea±a＞elnb±lnb，构造函数f（x）＝ex±x；
（2）同右构造：ea±lnea＞b±lnb，构造函数f（x）＝x±lnx.
三、积型同构
（1）设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜blnb，则（B）
A.ab＞e B.b＞ea
C.ab＜e D.b＜ea
解析：由已知aea＜blnb，则ealnea＜blnb.设f（x）＝xlnx，则f（ea）＜f（b）.因为a＞0，则blnb＞0，则b＞1.当x＞1时，f（x）＝lnx＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以ea＜b.故选B.
（2）（2025·长沙模拟）设实数m＞0，若对任意的x∈