阶段提能(三)
1．解：(1)由u∈R，对应关系f使方程①的解v与u对应v＝－12u2，每一个u∈R，都有唯一的v≤0与之对应，故v＝f(u)是函数．
(2)因为v∈B＝(－∞，0]，由u2＋2v＝0可得u2＝－2v≥0，
此时每一个v(v＝0除外)，都有2个不同的u与之对应，故u＝g(v)不是函数．
此时每一个v(v＝0除外)，都有2个不同的u与之对应，故u＝g(v)不是函数．
2．解：因为二次函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝1－a，且开口向上，所以函数f(x)在区间(－∞，1－a]上单调递减．
又已知该函数在区间(－∞，4)上单调递减，则1－a≥4，即a≤－3．
故实数a的取值范围为(－∞，－3]．
3．解(1)∵f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，∴y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x．
设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)．
∴g(x)为奇函数．
∴f(x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称．
即f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2)．
(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
4．解：定义域为{x|x≠0}，值域为R．
?x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，
则y1－y2＝x1－1
＝x1
∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，
∴x1x20，x1－x20，x1x2＋10，
∴y1－y20，即y1y2．
∴y＝x－1x在(－∞，0)
?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，
则y1－y2＝x1
∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，
∴x1x20，x1x2＋10，x1－x20．
∴y1－y20，即y1y2．
∴y＝x－1x在(0，＋∞)
设f(x)＝y＝x－1x
∵f(－x)＝－x－1-x＝－x-1x＝－
∴f(x)＝y＝x－1x
y＝x－1x
5．C[对于A，因为y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝12x在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－1x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，当0x1时，f(x)＝3|x-1|＝31-x在(0，
6．B[对于A，f(x)＝ex-x2x2+1，函数定义域为R，f(－x)＝e-x--x2-x
对于B，f(x)＝cosx+x
且f(－x)＝cos-x+-x2-x2+1＝cosx+x
对于C，f(x)＝ex-xx+1，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则f(
对于D，f(x)＝sinx+4xex，函数定义域为R，f(－x)＝sin-x+4-xe-x＝-sinx
故选B．]
7．D[法一：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即xexeax-1＝-xe-xe-ax-1，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1
法二：f(x)＝xexeax-1＝xea-1x-e-x，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e－x是奇函数，故
8．C[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－(1＋x))＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f53＝f53-2＝f-13＝
9．B[法一：因为f(x)＝1-x1+x，所以f(x－1)＝1-x-11+x-1＝2-xx，
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝2-xx－1＝2-2xx，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝2-xx＋1＝2x，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－
对于C，f(x＋1)－1＝-xx+2－1＝-
对于D，f(x＋1)＋1＝-xx+2＋1＝-
故选B．
法二：f(x)＝1-x1+x＝2-x+11+x＝21+x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(
10．B[法一：因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(