高考真题衍生卷·命题区间9
1
所以
所以
所以
2
3
所以
则
3
因为
所以
所以
4
所以
而
故
从而
故选
5
所以
所以
6
又
故
结合
tan
可得
故
7
因为
则
又因为
则
则
法二
cos
cos
则
＝
＝-4tan
8．C[因为B＝π3，b2＝94ac，则由正弦定理得sinAsinC＝
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝94ac
即a2＋c2＝134ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝134
所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝74
因为A，C为三角形内角，则sinA＋sinC＞0，则sinA＋sinC＝72．故选C．
9．ABD[对于A，因为a＝2，b＝3，
所以ab，AB，故B为钝角，不可能，无解；
对于B，因为a＝2，b＝6，
由正弦定理得asinA＝
所以sinB＝621
对于C，由cosA＝55，得sinA＝2
由正弦定理得asinA＝
所以a＝855
对于D，因为c＝3b，sinA＝2sinB，所以a＝2b，
由余弦定理的推论得cosC＝a2+b2-c
10．2[如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a，
由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6，
因为b0，解得b＝1＋3，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，
12×2×b×sin60°＝12×2×AD×sin30°＋12×AD×b×
解得AD＝23b2+b＝
11．解：(1)因为acosc＋3asinc－b－c＝0，所以根据正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC＝sinB＋sinC，即sinAcosC＋3sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC，
所以sinAcosC＋3sinAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinC．
因为0°＜C＜180°，所以sinC≠0，
所以3sinA－cosA＝1，即sin(A－30°)＝12．所以A－30°＝30°(A－30°＝150°舍去)，即A＝60°
(2)由A＝60°，S＝12bcsinA＝3，得bc＝4
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，所以b＋c＝4．又bc＝4，所以b＝c＝2．
12．解：(1)因为A＋B＝3C，所以π－C＝3C，即C＝π4
又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)，
所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，
所以sinAcosC＝3cosAsinC，
所以sinA＝3cosA．
又因为sin2A＋cos2A＝1，
所以sin2A＋19sin2A＝1
解得sin2A＝910
又因为A∈(0，π)，
所以sinA0,所以sinA＝310
(2)由(1)知，sinA＝31010，tanA＝30，所以A为锐角，所以cosA＝
所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC
＝22
由正弦定理ABsinC＝ACsin
设AB边上的高为h，
所以12AB·h＝12AB
所以h＝AC·sinA＝210×310
13．解：(1)法一：(辅助角公式)
由sinA＋3cosA＝2可得12sinA＋32cosA＝1，即sinA+π
由于A∈(0，π)，则A＋π3∈π3，4π3，故A＋
法二：(同角三角函数的基本关系)
由sinA＋3cosA＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sinA得4cos2A－43cosA＋3＝0，即2cosA-32＝0，解得cosA＝32，又A∈(0，π)
(2)由题设条件和正弦定理得，
2sinBsinC＝2sinCsinBcosB，
又B，C∈(0，π)，则sinBsinC≠0，
所以cosB＝22，所以B＝π
于是C＝π－A－B＝7π
sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA＝2+
由正弦定理asinA＝bsinB＝c
故△ABC的周长为2＋6+3