专题五立体几何
高考真题衍生卷·命题区间12
1．C[如图所示，设初始状态圆柱部分沙子的高度为h′，沙漏下半部分的圆柱高度为h1，圆锥部分高度为h2，上、下底面半径为r，则h1＝2cm，又沙漏总高度为10cm，则h2＝3cm，所以13πr2h2＋πr2h′＝πr2h1，即13πr2×3＋πr2h′＝πr2×2，解得h′＝1cm
所以初始状态的沙子高度h＝3＋h′＝4cm．故选C．]
2．ABD[由于棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m，所以选项A正确；由于棱长为1m的正方体中可放入棱长为2m的正四面体，且2＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1m，体对角线长为3m，3＜1.8，所以高为1.8m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为3m，而底面直径为1.2m的圆柱体，其高0.01m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．故选ABD．]
3．BCD[因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，所以里面所放球的半径最大为1，A错误；设球O1半径为1，放入长方体内部时，与四个侧面和底面均相切，如图1，设球O的半径为r，且与过点D1的三个面均相切，
不妨让球O与球O1也相切，
分别过点O1，O作O1E，OF⊥平面CDD1C1于E，F，
连接OO1，在梯形EFOO1中，过点O作OG⊥O1E，
在Rt△OO1G中易知OO1＝r＋1，O1G＝1－r，
OG＝2-r
即2r2－6r＋5＋(1－r)2＝(1＋r)2，
即2r2－10r＋5＝0，
解得r＝5-152或r＝5+152(舍
若要在长方体内同时放三个球，
其中一个球半径为1，另两个球半径相等，
作俯视图如图2，则球O的半径为1，
球O1，O2的最大半径为r＝22+25-15
因为长方体的对角面的边长分别为22和3，
且2.822，
所以可以让圆锥底面放到长方体的对角面上，
故可以放入长方体内部，D正确．故选BCD．
]
4．ABD[因为正四面体的棱长为1m，
如图1，在Rt△AOD中，
可得正四面体的高h＝AO＝AD2
设该正四面体的内切球(与各面均相切)的半径为r，球心为O1，
则有VA-BCD＝13S△BCD·h＝4×13S△BCD·
即r＝14h＝6
如图2，设圆柱的底面半径为r1，高为h1，
在Rt△AOE中，r1
r1
V圆柱＝πr12h1＝
令圆柱的体积关于h1的函数为V(h1)，
则V′(h1)＝πh1
令V′(h1)＝0，解得h1＝23或h1＝6
易知，当h1＝69m，r1＝123-6182
当球的表面积为3πm2时，其球的半径为32m
而由A项得内切球的半径r＝6123
故表面积为3πm2的球不能放入该正四面体中，C错误；
由B项可知，圆柱的直径为239
由勾股定理可得，其底面内接正方形的边长为69m
又圆柱的高为69m
故可以放入一个棱长为69m的正方体，D正确．
5．B[设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为r2+3，而它们的侧面积相等，所以2πr×3＝πr×3+r2，即23＝
故圆锥的体积为13π×9×3＝33π．
6．D[由题知VB-AEF＝13VB-ACD
所以S△AEF＝13S△ACD＝1
设EF＝a，AE＝b，AF＝c，
则12bcsin60°＝312，即bc＝
则a2＝b2＋c2－2bccos60°≥2bc－bc＝bc＝13
当且仅当b＝c，bc＝13，即b＝c＝33
7．C[因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为32，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝12×1×
8．A[设圆锥的高为h，母线长为l，底面圆半径为r，则12πl2＝2π，πl＝2πr，解得l＝2，r＝1，所以h＝l2
9．A[设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面积为15π，所以πrl＝15π，即rl＝15．因为l2＝r2＋42，所以联立解得r＝3(舍负)．因为圆柱的侧面积为18π，所以2πrh＝18π，即2π×3h＝18π，解得h＝3，所以该毡帐的体积为13πr2×4＋πr2h＝39π．故选A．
10．28[如图所示，根据题意易知△SO1A1∽△SOA，
所以SO
又SO1＝3，所以SO＝6，所以OO1＝3，
又上下底面正方形边长分别为2，4，
所以所得棱台的体积为13×4+16+4×16×3
11．64[
h甲＝2r1-r22-r
h乙＝3r1-r22-r
所以V甲V乙＝
12．C[如图，