离心率的范围问题
圆锥曲线中离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
一、借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.
（1）已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得过点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是
A.［12，1） B.［22，
C.［22，1） D.［32，
解析：（1）在椭圆C1的长轴端点P处向圆C2引两条切线PA，PB，若椭圆C1上存在点P，使过P的两条切线互相垂直，则只需∠APB≤90°，即α＝∠APO≤45°，∴sinα＝ba≤sin45°＝22，得a2≤2c2，∴e2≥12，又0＜e＜1，∴22≤e＜1，即e∈［22，1
（2）已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则该双曲线的离心率的取值范围是（
解析：（2）在△PF1F2中，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，由正弦定理｜PF1｜sin∠PF2F1＝｜PF2｜sin∠PF1F2，得｜PF1｜＝2｜PF2｜.又点P是双曲线上在第一象限内的一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，在△PF1F2中，由｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，得4a＋2a＞2c，即3a
二、借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，Δ的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.
（1）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），且AB，AD斜率之积的范围为（－34，－23），则椭圆
A.（12，33） B.（33
C.（14，33） D.（14
解析：（1）由题意，D，B关于原点对称，设D（x0，y0），B（－x0，－y0），A（x，y），∴kAD·kAB＝y－y0x－x0×y＋y0x＋x0＝y2－y02x2－x02＝b2（1－x2a2）－
（2）已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－y2b2＝1（b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线右支上，且满足｜F1F2｜＝2｜OP｜，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围是（
A.（1，179］ B.［179
C.［173，＋∞） D.（1，17
解析：（2）∵｜F1F2｜＝2｜OP｜，∴F1P⊥F2P，记｜PF1｜＝x，｜PF2｜＝y，则x2＋y2＝（2c）2＝4c2.又x－y＝2a①，∴2xy＝4c2－4a2，∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，∴x＋y＝22c2－a2②，由①②得x＝2c2－a2＋a，y＝2c2－a2－a.又tan∠PF2F1＝xy≥4，即x≥4y，∴2c2－a2＋a≥4（
三、借助圆锥曲线的性质
在求离心率的范围时常用到椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）中，－a≤x≤a，P是椭圆上任意一点，则a－c≤｜PF1
（1）已知F是椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是
A.［32，1） B.（0，3
C.［12，1） D.（0，1
解析：（1）设F为椭圆的左焦点，F为椭圆的右焦点，连接AF，BF，AF，BF（图略），由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF为平行四边形，又∠AFB＝120°，则∠FAF＝60°，在△AFF中，｜FF｜2＝｜AF｜2＋｜AF｜2－2｜AF｜·｜AF｜cos∠FAF＝（｜AF｜＋｜AF｜）2－3｜AF｜·｜AF｜，∴（｜AF｜＋｜AF｜）2－｜FF｜2＝3｜AF｜·｜AF｜≤3（｜AF｜＋｜AF|2）2，可得14（｜AF｜＋｜AF｜）2≤｜FF｜2，即a2≤4c2，则e＝ca≥12，∴椭圆的离心率e
（2）已知双曲线E：y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0），过点M（－b，0）的两条直线l1，l2分别与双曲线E的上支、下支相切于点A，B.若△MAB为锐角三角形，则双曲线E
A.（1，52） B.（1，6
C.（52，＋∞） D.（62
解析：（2）如图，设过点M（－b，0）的直线l1：y＝k（x＋b）（k＞0），联立y＝k（x＋b),y2a2－x2b2=1，消y整理得（b2k2